Monge-Ampère equations with applications in optic design

Kremer, Elisa; Dahmen, Wolfgang; Müller, Siegfried

doi:40395

Monge-Ampère equations with applications in optic design = Monge–Ampère-Gleichungen mit Anwendungen in der Optik

Kremer, Elisa

2021 & 2020

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Elisa Kremer, Master of Science

ImpressumAachen : RWTH Aachen University 2021

Umfang1 Online-Ressource : Illustrationen, Diagramme

Dissertation, RWTH Aachen University, 2020

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University 2021

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Müller, Siegfried (Thesis advisor)^RWTH* ; Dahmen, Wolfgang (Thesis advisor)^RWTH*

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2020-05-26

Online
DOI: 10.18154/RWTH-2021-04764
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/818967/files/818967.pdf

Einrichtungen

Projekte

Effiziente und robuste Algorithmen zur fertigungsgerechten Auslegung von optischen Freiformoberflächen und deren experimentelle Erprobung (259180742) (259180742)

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Monge–Ampère equation (frei) ; finite element method (frei) ; inverse reflector problem (frei) ; inverse refractor problem (frei) ; optimal transport (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 004

Kurzfassung
Seit der Antike beschäftigt sich der Mensch mit der Frage, wie Licht mit Hilfe von Spiegeln und Linsen umgeformt werden kann. Mathematisch ist diese Problemstellung eng mit der Theorie des optimalen Transports verwandt, in der eine kosteneffiziente Transformation zwischen zwei verschiedenen Verteilungen gesucht wird. In beiden Kontexten, Beleuchtungsfragen und optimalem Transport, kann das Problem auf die Lösung einer nichtlinearen partiellen Differentialgleichung vom Monge–Ampère-Typ zurückgeführt werden. Für die Differentialgleichung werden dabei die nicht üblichen, sogenannten Transportrandbedingungen, vorgegeben. In dieser Arbeit wird eine flexible und robuste Methode entwickelt, um solche Differentialgleichungen numerisch zu lösen. Mit flexibel ist dabei gemeint, dass diese Methode auf eine große Klasse relevanter Beleuchtungsprobleme, einschließlich Konfigurationen im Nahfeld, anwendbar ist. Unter robust wird dabei verstanden, dass der resultierende Algorithmus von möglichst wenigen Parametern abhängt, die im Falle neuer Probleminstanzen nicht in einem aufwendigen, manuellen Trial-and-Error-Prozess ermittelt werden müssen. Die entwickelte Methode basiert auf einer C^1-kontinuierlichen Finite-Elemente-Methode, deren ursprüngliche Anwendung aus der Behandlung nichtlinearer partieller Differentialgleichung mit Dirichlet-Randbedingungen bestand. Dafür wird zunächst die Einbettung der nichtlinearen Transportrandbedingungen in die Finite-Elemente-Methode und anschließend die Konstruktion und Implementierung solcher glatten Elemente diskutiert. Um praktisch relevante Probleme zu lösen, werden die kritischen Teile des Algorithmuses identifiziert und durch geeignete Stabilisierungstechniken in einem geschachtelten Prozess korrigiert. Anschließend wird die numerische Genauigkeit, geometrische Flexibilität und eine hohe Konvergenzrate in der Approximationsgüte durch eine Vielzahl von Testproblemen sowohl aus der klassischen optimalen Transporttheorie als auch aus der Optik bestätigt. In einem zweiten Teil wird das Anwendungspotential im Falle ausgedehnter Lichtquellen diskutiert. Obwohl die schon zuvor betrachteten Beleuchtungssysteme mathematisch herausfordernd sind, verschärft die Einführung kompakter Optiken die Bedeutung der Größe einer Lichtquelle, so dass sich solche Systeme nicht mehr durch partielle Differentialgleichungen des Monge–Ampère-Typs modellieren lassen. Aktuelle Designtechniken wie zum Beispiel die Phasenraummethode basieren auf Least-Squares-Verfahren und liefern oft suboptimale Ergebnisse. Typischerweise werden solche Methoden mit einer Startoberfläche initialisiert, die unter Berücksichtigung einer einzigen Punktquellenapproximation konstruiert wird. Um die Leistungsfähigkeit vorhandener Verfahren mithilfe dieses kritischen Punkts zu verbessern, wird ein Kombinierungsprozess entwickelt, der einen Startwert aufgrund verschiedener Punktquellenapproximationen berechnet. Die Kernidee hinter der Kombination einzelner Optiken ist dabei eine Konvexkombination basierend auf einer geeigneten, einheitlichen Parametrisierung aller Flächen.

Since antiquity humans are interested in the design of mirrors and lenses to create light distributions. Mathematically the problem is strongly connected to the optimal transport problem, where for an efficient transport between two different distributions is asked for. In both, illumination optics and optimal transport, the problem can be transferred to solving a fully nonlinear partial differential equation of Monge–Ampère type equipped with non-standard transport boundary conditions. In this thesis we develop a versatile, robust numerical method to solve partial differential equations of such a type. Versatile means that the method works for most illumination problems of practical interest, especially the difficult near field case, and robust means that the algorithm contains as few parameters as possible and does not have to be tweaked in a long trial and error process for every new configuration. The method is based on a C^1 finite element projection method designed to solve fully nonlinear partial differential equations with Dirichlet conditions. We discuss the key elements implementing such complicated elements and how to incorporate the nonlinear transport boundary conditions in the finite element method. In order to solve practically relevant problems, we identify the critical parts of the algorithm and introduce stabilisation techniques and inevitable regularisation within a nested iteration process. We confirm with a wide range of benchmark problems that the resulting algorithm yields numerical accuracy, geometric flexibility and high order of approximation for smooth solutions in both, classical optimal transport problems and optic design problems. In a second part we discuss potential exploitation in the context of extended light sources. Although mathematically the hereto considered illumination system already provides major challenges, during the design of compact optics the size of the source is not negligible and, hence, these systems cannot be modelled by a partial differential equation of Monge–Ampère type. Current design techniques like the phase space method are based on least-squares methods and often yield suboptimal results. Typically these methods are initialised with surfaces designed assuming a point source approximation. We develop a merging process that takes several different point source approximations into account and could thereby improve the overall performance of the phase space method. The guiding idea for the merging procedure is a convex combination of optical surfaces based on a unified parametrisation.

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