Representation categories of compact matrix quantum groups

Maaßen, Laura; Hiß, Gerhard; Freslon, Amaury; Weber, Moritz

doi:10.18154/RWTH-2021-06610

Representation categories of compact matrix quantum groups = Darstellungskategorien kompakter Matrixquantengruppen

Maaßen, Laura

2021

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Laura Maaßen, M.Sc.

ImpressumAachen : RWTH Aachen University 2021

Umfang1 Online-Ressource : Illustrationen

Dissertation, RWTH Aachen University, 2021

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Hiß, Gerhard (Thesis advisor)^RWTH* ; Weber, Moritz (Thesis advisor) ; Freslon, Amaury (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2021-06-29

Online
DOI: 10.18154/RWTH-2021-06610
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/822228/files/822228.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
compact quantum groups (frei) ; easy quantum groups (frei) ; interpolation categories (frei) ; representation categories (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
Ein zentrales Resultat in der Theorie kompakter Matrixquantengruppen ist eine Tannaka-Krein-Dualität, wodurch sich jede kompakte Matrixquantengruppe vollständig aus ihrer Darstellungskategorie rekonstruieren lässt. Darauf basierend werden 'einfache' Quantengruppen durch eine kombinatorische Beschreibung ihrer Darstellungskategorien definiert. In dieser Arbeit untersuchen wir die Darstellungskategorien sogenannter gruppentheoretischer Quantengruppen und zeigen, dass diese durch eine ähnliche kombinatorische Konstruktion wie die für einfache Quantengruppen gewonnen werden können. Weiterhin analysieren wir die Struktur abstrakter Tensorkategorien, welche die Darstellungskategorien einfacher Quantengruppen interpolieren. Die vorliegende Arbeit verknüpft somit Fragestellungen aus der Theorie kompakter Quantengruppen, der Kombinatorik und der Kategorientheorie. Im ersten Teil dieser Arbeit betrachten wir gruppentheoretische Quantengruppen. Wir definieren eine Verallgemeinerung von orthogonalen gruppentheoretischen Quantengruppen im unitären Kontext und zeigen, dass diese ebenfalls als semidirekte Produkte von Quantengruppen dargestellt werden können. Wir beschreiben dann deren Darstellungskategorien. Dazu führen wir modifizierte Versionen von Kategorien von Partitionen ein, welche die 'gruppentheoretische Struktur' der diagonalen Untergruppen gruppentheoretischer Quantengruppen modellieren. Außerdem definieren wir einen modifizierten Faserfunktor, der mit dem klassischen Faserfunktor für einfache Quantengruppen durch Moebius-Inversion zusammenhängt. Eine Anwendung der Tannaka-Krein-Dualität liefert dann die gesuchte kombinatorische Beschreibung der Darstellungskategorien gruppentheoretische Quantengruppen. Nachfolgend beschränken wir uns auf den orthogonalen Fall. Obwohl bekannt ist, dass es unendlich viele orthogonale gruppentheoretische Quantengruppen gibt, wurden bisher nahezu keine konkreten Beispiele untersucht. Wir analysieren daher verschiedene Beispiele, darunter insbesondere eine neue Serie von orthogonalen einfachen Quantengruppen zwischen der hyperoktaedrischen Serie und der höheren hyperoktaedrischen Serie. Anschließend entwickeln wir eine verbesserte Version des de Finetti-Theorems für orthogonale gruppentheoretische Quantengruppen von Raum und Weber. Im zweiten Teil dieser Arbeit untersuchen wir sogenannte interpolierende Partitionskategorien im Rahmen von Delignes Interpolationskategorien. Interpolierende Partitionskategorien sind die kategorielle Abstraktion von Kategorien von Partitionen zusammen mit einem komplexen Interpolationsparameter. Per Konstruktion interpolieren diese die Darstellungskategorien einfacher Quantengruppen. Wir zeigen, dass die Halbeinfachheit einer interpolierenden Partitionskategorie in den Determinanten bestimmter Gram-Matrizen kodiert ist. Darauf aufbauend berechnen wir, für welche Interpolationsparameter interpolierende Partitionskategorien, die zu gruppentheoretischen Quantengruppen korrespondieren, halbeinfach sind. Außerdem parametrisieren wir die unzerlegbaren Objekte in allen interpolierenden Partitionskategorien durch explizit konstruierbare Systeme endlicher Gruppen und zeigen, dass dies graduierte Versionen der zugehörigen Grothendieck-Ringe beschreibt. Wir wenden diese Resultate im Anschluss auf orthogonale einfache kompakte Gruppen und freie orthogonale einfache Quantengruppen an.

One key result obtained from the investigation of compact matrix quantum groups is a Tannaka-Krein type duality, by which any compact matrix quantum group can be fully recovered from its representation category. Following this idea, easy quantum groups are defined through a combinatorial description of their representation categories. In this thesis, we study the representation categories of so-called group-theoretical quantum groups and show that they can be described by a combinatorial calculus similar to that used for easy quantum groups. Furthermore, we analyse the structure of abstract tensor categories that interpolate the representation categories of easy quantum groups. This thesis thus concerns research problems at the intersection of the theory of compact quantum groups, combinatorics and category theory with links to group theory. The first part of this thesis concerns group-theoretical quantum groups. We define an analogue of orthogonal group-theoretical quantum groups in the unitary setting and show that their description as semi-direct product quantum groups can be generalised. We describe their representation categories, both in the easy and the non-easy case. For this purpose, we introduce modified versions of categories of partitions, which model the 'group-theoretical structure' of the diagonal subgroups of group-theoretical quantum groups. Moreover, we define a modified fiber functor linked with the classical fiber functor via Moebius inversion. Subsequently, we show that the application of the Tannaka-Krein duality yields the desired description of the representation categories of group-theoretical quantum groups. Next, we restrict our attention to the orthogonal case. Although it is known that uncountably many orthogonal group-theoretical easy quantum groups exist, almost no concrete examples have been studied. We compute various examples with small generators, including in particular a new series of easy quantum groups between the hyperoctahedral series and higher hyperoctahedral series. We conclude our analysis of orthogonal group-theoretical quantum groups by an improved version of a de Finetti theorem by Raum and Weber. In the second part of this thesis, we study interpolating partition categories in the framework of Deligne's interpolation categories. Interpolating partition categories are the categorial abstraction of categories of partitions together with a complex interpolation parameter. We explain that their semisimplifications interpolate the representation categories of easy quantum groups. Next, we show that the semisimplicity of an interpolating partition category is encoded in the determinants of certain Gram matrices. We compute the set of interpolation parameters yielding semisimple interpolating partition categories for all group-theoretical easy quantum groups. Moreover, we parametrise the indecomposable objects in all interpolating partition categories by an explicitly constructible system of finite groups and exhibit their Grothendieck rings as filtered deformations. We apply these results to orthogonal easy groups and free orthogonal easy quantum groups.

OpenAccess:
PDF
(additional files)