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Branching cones and polytopes for Lie algebras
2022
Dissertation, RWTH Aachen University, 2022
Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University
Genehmigende Fakultät
Fak01
Hauptberichter/Gutachter
;
Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2022-03-21
Online
DOI: 10.18154/RWTH-2022-03360
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/843733/files/843733.pdf
Einrichtungen
Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
branching (frei) ; cone (frei) ; lie algebra (frei) ; polytope (frei) ; representation theory (frei)
Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510
Kurzfassung
Ziel dieser Arbeit ist es, verschiedene Aspekte des Branchings von Lie Algebren zu beleuchten. Wir wollen neue Ergebnisse präsentieren und in einen Kontext mit bereits bekannten setzen. Daher werden wir sie alle im selben Modell präsentieren, wobei wir die Theorie der birationalen Sequenzen von Fang, Feigin und Littelman [10] verwenden und erweitern werden. Wir werden Branchingkegel einführen und erklären, wie man diese in der String-Parametrisierung für die Branchings von B_n, C_n, D_n über A_n−1 explizit beschreiben kann, wobei wir Ergebnisse von Littelmann [29], [28] und Berenstein-Zelevinsky [4] nutzen. Danach werden wir Branchingpolytope studieren und unsere Ergebnisse in Lusztigs Parametrisierung übersetzen. Sowohl die String- als auch die Lusztig-Parametrisierung können in der Sprache der birationalen Sequenzen beschrieben werden. Dies erlaubt es uns, unsere Ergebnisse im selben Modell zu beschreiben wie Ergebnisse über andere Branchings, die nicht in den genannten Parametrisierungen beschrieben werden können. Wenn wir mit birationalen Sequenzen arbeiten müssen wir eine gewichtete Ordnung auf Z^N_≥0 fixieren. Wir wählen die höhengewichtete entgegengesetzte lexikographische Ordnung und wollen rechtfertigen, weshalb wir diese Wahl als natürlich ansehen um Branchings zu untersuchen. Daher werden wir die Arbeiten anderer Autoren in die Sprache der birationalen Sequenzen übersetzen und zeigen, dass wir - manchmal mit Hilfe kleiner Änderungen der Sequenzen- dieselben Ergebnisse erhalten, wenn wir unsere Lieblingsordnung verwenden. In diesem Kontext werden wir auch erstmals Einbettungen betrachten, die nicht vom Levi-Typ sind. Wir möchten unsere Ordnung auch benutzen, um Branchings zu untersuchen, die durch die Faltung von Dynkin-Diagrammen beschrieben werden. Dafür müssen wir zunächst die Definition der birationalen Sequenzen verallgemeinern. Für diese Branchings werden wir nur Vermutungen über die Branchingkegel und -polytope formulieren können, aber diese sind zumindest in allen überprüften Beispielen korrekt und unsere Stategie um sie aufzustellen erscheint sinnvoll. Wir nennen diese eine Faltung von Ungleichungen. Insgesant werden wir drei ziemlich verschiedene Stategien kennenlernen, um Ungleichungen für Branchingkegel und -polytope zu berechnen, da jeder Typ von Branching seine Besonderheiten hat. Am Ende dieser Arbeit werden wir die Verbindung unserer Ergebnisse zu Branchingalgebren und wie man aus diesen torische Degenerierungen erhält erklären.The aim of this work is to study different aspects of branchings of Lie algebras. We want topresent new results and put them in the context of already known ones. Therefore, we try toput them all in the same framework, using and extending the theory of birational sequencesof Fang, Fourier and Littelmann [10]. We will introduce branching cones and explain how to explicitly describe them for thebranchings of B_n, C-n, D-n over A-n−1 using results of Littelmann [29], [28] and Berenstein-Zelevinsky [4]. Next, we will study string branching polytopes and translate our results toLusztig’s parametrization. Both, the string and the Lusztig parametrization can be describedin the language of birational sequences. This allows us to describe our results in the same framework as results on other branchingswhich cannot be described in these parametrizations. When working with birational sequences, we need to fix a weighted order on Z^N_≥0. We choose the height-weighted opposite lexicographic order and want to justify this choice as a natural one for studying branchings. Therefore, we translate the works of other authors to the language of birational sequencesand show that - in some cases with some slight changes of the sequences - we can obtain the same results as them using our favorite order. In this context we also encounter the first embeddings which are not of Levi type. We also want to use our order for studying branchings given by foldings of Dynkin diagrams. We therefore need to generalize the definition of birational sequences. For these branchings we will only be able to give conjectures for the branching cones and polytopes, but they hold true in all examples we checked and the strategy to find them seems reasonable. We call itfolding of inequalities. In total, we will encounter three quite different approaches for computing in equalities for the branching cones and polytopes as each kind of branching has its specifics. At the end of this work, we will explain the connection of our results to branching algebras and how to get toric degenerations of them.
OpenAccess: 
PDF
(additional files)
Dokumenttyp
Dissertation / PhD Thesis
Format
online
Sprache
English
Externe Identnummern
HBZ: HT021324058
Interne Identnummern
RWTH-2022-03360
Datensatz-ID: 843733
Beteiligte Länder
Germany
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