Invertieren als Fundamentale Idee der Mathematik : Stoffdidaktische Begründung der Fundamentalität und Anwendung als Analyseinstrument in der Stochastik

Wiernicki-Krips, Tobias; Cramer, Erhard; Heitzer, Johanna

doi:10.18154/RWTH-2022-03596

Invertieren als Fundamentale Idee der Mathematik : Stoffdidaktische Begründung der Fundamentalität und Anwendung als Analyseinstrument in der Stochastik = Inverting as a fundamental idea of mathematics : Justification of fundamentality in the tradition of subject matter didactics and application to analysing stochastic examples

Wiernicki-Krips, Tobias^RWTH*

2021 & 2022

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Diplom-Gymnasiallehrer Tobias Wiernicki-Krips, geb. Wiernicki

ImpressumAachen : RWTH Aachen University 2021

Umfang1 Online-Ressource : Illustrationen, Diagramme

Dissertation, RWTH Aachen University, 2021

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University 2022

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Heitzer, Johanna (Thesis advisor)^RWTH* ; Cramer, Erhard (Thesis advisor)^RWTH*

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2021-09-29

Online
DOI: 10.18154/RWTH-2022-03596
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/844025/files/844025.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Invertieren (frei) ; Quantile (frei) ; Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße (frei) ; fundamental idea (frei) ; fundamentale Idee (frei) ; inverting (frei) ; probability distribution of a random variable (frei) ; quantiles (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
Die Motivation für die Betrachtung der Idee des Invertierens ergibt sich für diese Arbeit aus den folgenden Beobachtungen: Erstens ist Invertieren ein bisher wenig beachteter Kandidat einer Fundamentalen Idee der Mathematik, obwohl in der Mathematik das Bestimmen eines Ausgangszustands bei bekanntem Prozess und Endzustand nicht nur bei Umkehrfunktionen ein oft wiederkehrendes Motiv ist. Dies steht im Gegensatz dazu, dass das Umkehren von Gedankengängen als mathematikdidaktisches Unterrichtsprinzip in Form von Umkehraufgaben mit unterschiedlichen didaktischen Zielsetzungen grundlegend, allgemein akzeptiert und lernpsychologisch gut begründet ist. Daraus entwickelte sich die nachstehende, für diese Dissertation im Vordergrund stehende Frage: Inwiefern ist Invertieren eine Fundamentale Idee der Mathematik? Zweitens wird in der Didaktik teilweise die unterrichtliche Relevanz Fundamentaler Ideen kritisch diskutiert. Diese Arbeit vertritt die Position, dass eine Orientierung des Unterrichts an Fundamentalen Ideen zu einem verstehens- und kompetenzorientierten Unterricht beiträgt. Drittens ist eine Beschäftigung mit der Idee des Invertierens insbesondere für die Stochastikdidaktik relevant: Denn zum einen finden sich in den wenigen Vorarbeiten zur Fundamentalen Idee des Invertierens keine Verknüpfungen mit Stochastikinhalten und zum anderen dominieren in der Stochastikdidaktik bisher Arbeiten zu stochastikspezifischen Fundamentalen Ideen. Die Vorgehensweise dieser Arbeit zur Behandlung der oben skizzierten Forschungsbedarfe und daraus resultierender Aufgabenstellungen ist wie folgt angelegt: Zunächst wird das zugrundeliegende Verständnis sowohl des Invertierens mathematischer Prozesse als auch einer Fundamentalen Idee dargelegt. Daran schließt die Beschreibung des Forschungsstands an, die im Wesentlichen aus einer Analyse vorhandener mathematikdidaktischer Ansätze zum Invertieren als Fundamentaler Idee besteht. Auf deren Grundlage wird der Neuigkeitswert der Arbeit im Hinblick auf Konzepte Fundamentaler Ideen deutlich. Anhand der Kriterien einer Fundamentalen Idee von Schubert u. Schwill wird im weiteren Verlauf insbesondere die Fundamentalität des Invertierens stoffdidaktisch begründet. Im Hinblick auf die unterrichtspraktische Relevanz hebt diese Arbeit drei Ziele mathematikdidaktischer Konzepte Fundamentaler Ideen in der Tradition von Bruner hervor: Aufbau von Begriffsverständnis, Vermittlung eines angemessenen Mathematikbildes und Anregung didaktischer Reflexionen. Anhand der zwei Stochastikbeispiele Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße sowie Quantile in Beschreibender Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung werden in didaktisch orientierten Sachanalysen Verknüpfungen mit der Idee des Invertierens herausgearbeitet. Beide Beispiele enthalten sowohl für Schülerinnen und Schüler als auch für Erstsemesterstudierende unbekannte Aspekte des Invertierens. Die resultierenden Vorschläge für die Schule und Hochschule erwachsen nicht nur aus den Sachanalysen sondern ebenfalls aus den Erfahrungen aus jeweils zwei Workshops mit interessierten und leistungsstarken Schülerinnnen und Schülern der Oberstufe, die nahe an der Hochschulmathematik konzipiert waren. Die wichtigsten Ergebnisse der Arbeit bestehen zum einen aus der Begründung der Fundamentalität der Idee des Invertierens. Dazu gehören auf der einen Seite die Sachanalysen, in welchen mathematischen Zusammenhängen und anhand welcher Prozesse Invertieren eine wichtige Rolle einnimmt. Diese beinhalten die Darstellung der Zusammenhänge u. a. mit den mathematischen Begriffen Umkehrfunktion, inverses Element, Umkehroperation, Urbild- und Quantilfunktion. Auf der anderen Seite wird z. B. anhand von Aufgabenbeispielen von der Primar- bis zur Oberstufe aufgezeigt, dass eine Behandlung der Idee des Invertierens in der Schule möglich ist. Den zweiten Schwerpunkt der Arbeit stellen die Analysen der Stochastikbeispiele in Bezug auf die Idee des Invertierens dar, aus denen sowohl Vorschläge für die Zugänglichkeit der Themen auf Schul- und Hochschulebene als auch forschungsbezogene Anregungen resultieren. Sie beziehen sich vor allem auf die für die Verteilung der Zufallsgröße zentrale Rolle der Urbildfunktion einer Zufallsgröße und auf die Quantilsbestimmungen anhand von Verteilungsfunktionen sowohl in der Beschreibenden Statistik als auch in der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

In this dissertation, considering the idea of Inverting is motivated by the following observations: First, Inverting is a candidate for a Fundamental Idea in mathematics which has not yet been sufficiently investigated and highlighted, although determining an initial state based on a given process and final state is a frequently recurring motif inmathematics, not only for inverse functions. This is in contrast to the fact that reversing mental processes through inverse problems with different didactic objectives is a teaching principle in mathematics education that is fundamental, generally accepted and well-founded in learning psychology. This led to the following question which is the main focus of this doctoral thesis: In what whay is Inverting a Fundamental Idea in mathematics? Second, the instructional relevance of Fundamental Ideas is sometimes critically discussed in didactics. This thesis takes the position that adapting teaching to Fundamental Ideas fosters a deeper understanding of concepts and increases mathematical competency. Third, paying attention to the idea of Inverting is particularly relevantto stochastics didactics: For one thing, the few preliminary works on the Fundamental Idea of Inverting contain no links to stochastics, and for another, this area of stochastics education has been dominated by stochastics-specific Fundamental Ideas. The procedure of this thesis is designed as follows to elaborate on the research needs outlined above and the resulting tasks: First, the underlying understanding of both inverting mathematical processes and a Fundamental Idea is presented. This is followed by the description of the state of research, which essentially consists of an analysis of existing approaches in mathematics education regarding Inverting as a Fundamental Idea. On the basis of this, the originality of the thesis with respect to theories of Fundamental Ideas becomes evident. Subsequently, the fundamentality of Inverting is established in terms of subject matter didactics (‘Stoffdidaktik’), using the criteria of a Fundamental Idea by Schubert and Schwill. With respect to the relevance of teaching practice, this work emphasizes three goals of mathematics-didactic theories of Fundamental Ideas in the tradition of Bruner: learning concepts in an understanding-oriented manner, providing an adequate picture of mathematics and its characteristics and also stimulating didactic reflections. On the basis of the two stochastic examples probability distribution of a random variable and quantiles in descriptive statistics and probability calculation, links with the idea of Inverting are worked out in didactically oriented content analyses (‘didaktisch orientierte Sachanalysen’). Both examples contain aspects of Inverting that are unknown to both high school students and freshmen students. The resulting proposals for teaching at school and university arise not only from the content analyses but also from the experience of workshops with interested and high-performing high school students which were designed to be close to university mathematics. The first important result of the thesis is the justification of the fundamentality of the idea of Inverting. This includes the content analyses regarding mathematical contexts and processes in which Inverting plays an important role. Relationships especially between the mathematical terms inverse function, inverse element, inverse operation,inverse image mapping and quantile function are representated. Teaching the idea of Inverting is possible at school, for example by showing exercises from primary school to high school level. The second focus of the dissertation is the analyses of the stochastic examples with regard to the idea of Inverting. These outline how topics can be made accessible in teaching both at school and university level; they also yield suggestions for further research. The proposals with respect to the distribution of the random variable refer primarily to the central role of the inverse image mapping of a random variable. The proposals with respect to quantiles relate to determining quantiles based on cumulated distribution functions in both descriptive statistics and probability calculus.

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