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On gradient flows of singular interaction energies on curves
2022
Dissertation, RWTH Aachen University, 2022
Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University
Genehmigende Fakultät
Fak01
Hauptberichter/Gutachter
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Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2022-03-31
Online
DOI: 10.18154/RWTH-2022-07064
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/849850/files/849850.pdf
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Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Gradientenflüsse (frei) ; Interaktionsenergien (frei) ; Knotenenergien (frei) ; Wasserstein space (frei) ; Wasserstein-Raum (frei) ; gradient flows (frei) ; interaction energies (frei) ; knot energies (frei) ; minimizing movement (frei)
Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510
Kurzfassung
In dieser Arbeit beweisen wir verschiedene Ergebnisse im Zusammenhang mit singulären integralen Interaktionsenergien auf Kurven und rektifizierbaren Mengen. Als Erstes betrachten wir im Wasserstein-Raum einen Fluss einer Energie, deren Gradient, zumindest formal gesehen, die Riesz-Transformation ist. Wir zeigen, dass zu geeignet regularisierten Energien Gradientenflüsse existieren und dass diese gegen einen Grenzfluss konvergieren. Wir zeigen außerdem das nachfolgende konditionale Resultat. Falls die Gradientenflüsse der regularisierten Energien und der Grenzfluss aus gleichmäßig rektifizierbaren Maßen besteht, dann erfüllt der Grenzfluss eine Kontinuitätsgleichung, die von der Riesz-Transformation angetrieben wird. Mit Hilfe von glatten und symmetrischen Funktionen wird die Singularität der Energiedichte abgeschnitten. Durch schrittweise Reduktion des verworfenen Anteils erhalten wir eine Familie von regularisierten Energien. Zu jeder dieser Energien erhalten wir durch das Lösen einer Kontinuitätsgleichung die Existenz eines Wasserstein-Gradientenflusses zusammen mit einer Energiedissipationsungleichung. Gleichmäßige Schranken an die Anfangsenergie in Verbindung mit dem Satz von Arzelà-Ascoli liefern im Grenzwert verschwindender Regularisierung dann einen Grenzfluss. Die zusätzlichen Annahmen erlauben schließlich auch in der Dissipationsungleichung zum Grenzwert überzugehen, woraus das konditionale Resultat folgt. Als Zweites betrachten wir einen Fluss der integralen Mengerkrümmung in einem Banachraum verknoteter Kurven. Geometrische Krümmungsenergien werden seit etwa drei Jahrzehnten in der Knotentheorie studiert und unter anderem als Klassifikationswerkzeuge verwendet. Im letzten Jahrzehnt wurde deren dynamisches Verhalten untersucht und die Existenz von Hilbert-Gradientenflüssen von verschiedenen Knotenenergien wurde gezeigt. In dieser Arbeit verlassen wir das Hilbertraum-Setting und beweisen die Langzeitexistenz von Gradientenflüssen einer Energie, die aus der Summe der integralen Mengerkrümmung und eines zusätzlichen Strafterms besteht, in einem Banachraum. Unser Ansatz folgt der Theorie der metrischen Gradientenflüsse. Mit Hilfe des zusätzlichen Strafterms, der auf dem 'logarithmic strain' einer Kurve basiert, liefern gleichmäßige Schranken an die Energie gleichmäßige Kontrolle über die Parametrisierung der Kurve. In Verbindung mit gleichmäßigen Schranken an die integrale Mengerkrümmung der Kurve erhalten wir eine gleichmäßige Kontrolle über die Bi-Lipschitz Konstanten der Kurve und bewahren so ihre Injektivität. Dadurch wird die Gesamtenergie schwach unterhalbstetig auf der Menge der injektiven und regulären Kurven und ein 'minimising movement' existiert. Indem wir einen Banachraum wählen, der etwas kleiner ist als der Energieraum der integralen Mengerkrümmung, erhalten wir kompakte Einbettungen und als Konsequenz die schwache Unterhalbstetigkeit der 'local slope' und damit die Existenz eines Gradientenflusses. Zuletzt berechnen wir noch die erste Variation der Mengerkrümmung auf Lipschitz-Graphen und reinterpretieren einen Fluss von Kurven als einen Fluss von Maßen.In this thesis we prove various results connected to integral energies with singular interaction densities on curves and rectifiable sets. Firstly, we consider a flow in the Wasserstein space of a singular energy whose gradient is, at least formally, the Riesz transform. We show that gradient flows exist for suitably regularised versions of the energy, and that these converge to a limit flow. We further prove the following conditional result. If the gradient flows of the regularised energies and the limit flow consist of uniformly rectifiable measures, then the limit flow satisfies a continuity equation driven by the Riesz transform. Using a smooth and symmetrical function, we cut off the singularity of the energy density. Then, we show that the Wasserstein-gradient flow of the integral energy exists by solving a corresponding continuity equation. Decreasing the amount that is cut off step by step, we obtain a family of gradient flows and their associated energy dissipation inequalities. The initial energy gives a uniform bound for the dissipation and thus implies the equi-continuity of the gradient flows. The theorem of Arzelà-Ascoli then yields a limit flow. The above-mentioned condition allows us to pass to the limit in the dissipation inequalities; this yields the result. Secondly, we consider a flow of the integral Menger curvature in a Banach space of knotted curves. Geometric curvature energies have been popular for the past three decades. In knot theory, they appear as so-called knot energies and are used as a classification tool. In the last decade, their dynamical behaviour has been investigated and gradient flows of various knot energies in Hilbert spaces have been shown to exist. In this thesis, we give a reinterpretation of one such a gradient flow as a flow of measures. Moreover, we leave the Hilbert space setting and prove the long-time existence of a gradient flow of the integral Menger curvature with an additional penalty term in a Banach space. Our approach is based on the theory of minimising movements in metric spaces. The additional penalty term is based on the logarithmic strain of a curve and thus uniform bounds on the energy give uniform control on the parametrisation of the curve. When combined with uniform bounds on the integral Menger curvature of the curve, we obtain uniform control over the bi-Lipschitz constants of the curves and thus preserve their injectivity. That way, the total energy is weakly lower semicontinuous on the set of injective and regular Sobolev-Slobodeckij curves and a minimising movement exists. By choosing a Banach space that is slightly smaller than the energy space of the integral Menger curvature, we get access to compact Sobolev-embeddings. As a consequence, the weak lower semicontinuity of the local slope is established and we conclude that the minimising movement is in fact a gradient flow. Lastly, we compute the first variation of the total Menger curvature on Lipschitz graphs and give a reinterpretation of a flow of curves as a flow of measures.
OpenAccess: 
PDF
(additional files)
Dokumenttyp
Dissertation / PhD Thesis
Format
online
Sprache
English
Externe Identnummern
HBZ: HT021457765
Interne Identnummern
RWTH-2022-07064
Datensatz-ID: 849850
Beteiligte Länder
Germany
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