PBW deformations arising from algebraic groups

Mackscheidt, Verity; Fourier, Ghislain Paul Thomas; Levandovskyy, Viktor

doi:HT021742269

PBW deformations arising from algebraic groups

Mackscheidt, Verity^RWTH*

2022 & 2023

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Verity Mackscheidt, M.Sc.

ImpressumAachen : RWTH Aachen University 2022

Umfang1 Online-Ressource : Illustrationen, Diagramme

Dissertation, RWTH Aachen University, 2022

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University 2023

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Fourier, Ghislain Paul Thomas (Thesis advisor)^RWTH* ; Levandovskyy, Viktor (Thesis advisor)^RWTH*

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2022-11-09

Online
DOI: 10.18154/RWTH-2023-01545
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/946045/files/946045.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Hopf algebra (frei) ; infinitesimal Hecke algebra (frei) ; PBW deformations (frei) ; PBW theorem (frei) ; interpolation category (frei) ; orthosymplectic groups (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
Das PBW Theorem, benannt nach den Autoren Poincaré, Birkhoff und Witt, besagt das Folgende: Für eine Lie Algebra $\mathbb{g}$, ist die assoziierte graduierte Algebra ihrer universell einhüllenden Algebra, $\text{gr}~ U(\mathbb{g})$, isomorph zu ihrer symmetrischen Algebra $S(\mathbb{g})$. Die wesentliche Idee dieser Korrespondenz besteht darin, eine graduierte Algebra - hier, $S(\mathbb{g})$ - so zu deformieren, dass sie ihre Graduierung verliert, während die assoziierte graduierte Algebra dieser Deformation unverändert bleibt. Dieses PBW Theorem motiviert die Definition von PBW Deformationen, die als genau solche Deformationen verstanden werden sollen, die die assoziierte graduierte Algebra erhalten. PBW Deformationen wurden in verschiedenen Kontexten definiert, und in dieser Arbeit konzentrieren wir uns auf solche PBW Deformationen, die aus algebraischen Gruppen stammen. Im Laufe dieser Arbeit definieren wir diese und fassen die wesentlichen bisher bekannten Resultate zu ihnen zusammen - nämlich, eine Deformation ist PBW, genau dann wenn die Deformationsabbildung eine Äquivarianzbedingung und eine verallgemeinerte Jacobi-Identität erfüllt. Hierbei handelt es sich um ein wichtiges Resultat, das von verschiedenen Autoren behandelt wurde; für unseren Kontext im Wesentlichen von Etingof-Gan-Ginzburg. Jedoch wurde dieses Resultat bisher nur in Spezialfällen in explizite Bedingungen überführt. Es gibt nach wie vor eine Vielzahl an offenen Fragen im Bereich der PBW Deformationen. Ein Fokus dieser Arbeit ist es, die folgenden beiden Fragen zu beantworten: 1) Wie können die bekannten Bedingungen an PBW Deformationsabbildungen in explizite Parametrisierungen ebendieser Abbildungen übertragen werden? 2) Wie sieht das Zentrum von PBW Deformationen aus? Der ersten Frage nähern wir uns in einem Setting von orthosymplektischen Gruppen. Hierbei verfolgen wir einen kombinatorischen Ansatz mittels einer Interpolationskategorie von Deligne. Dazu beschreiben wir zunächst eine kombinatorische Basis des Hom-Raums, in dem die Deformationsabbildungen leben, und erlegen die Jacobi-Identität auf. Dies geschieht kombinatorisch mit der Hilfe von gewissen Bogendiagrammen. Hiervon ausgehend erhalten wir bestimmte Bedingungen, die wir auf die Deformationsabbildungen übertragen können und wodurch wir explizite Resultate dazu erhalten, wie eine PBW Deformation aussehen kann. Dieses Resultat gilt für alle orthosymplektischen Gruppen, und spezialisiert zu Fällen, die von Etingof-Ganz-Ginzburg (2005) und Tsymbaliuk (2015) diskutiert wurden. Die zweite Frage wird in mehreren Schritten beantwortet, wobei diese Schritte für verschiedene Grade an Allgemeinheit gelten. Dies führt zu einer expliziten Formel für zentrale Elemente der infinitesimalen Hecke Algebra von $\mathbb{so}_2$, und einer Vermutung für eine gesamte Familie von zentralen Elementen für die infinitesimale Hecke Algebra von $\mathbb{so}_n$.

The PBW theorem, named after the authors Poincaré, Birkhoff and Witt, states the following: For a Lie algebra $\mathbb{g}$, the associated graded algebra of its universal enveloping algebra, $\text{gr}~ U(\mathbb{g})$, is isomorphic to its symmetric algebra $S(\mathbb{g})$. The main idea of this correspondence is to deform a graded algebra - here, $S(\mathbb{g})$ - in such a way that it loses the grading, yet the associated graded algebra of this deformation is still unchanged. This PBW theorem motivates the definition of PBW deformations, which should be understood as exactly those deformations which preserve the associated graded algebra. PBW deformations have been defined in different contexts, and in this work, we will focus on those PBW deformations that stem from algebraic groups. In the course of this work, we will define them and summarise the main known results so far - that is, deformations are PBW if and only if the deformation map fulfils an equivariance condition and a generalised Jacobi identity. This is an important result that has been discussed by various authors, most importantly for our context by Etingof-Gan-Ginzburg. However, these notions so far have been translated into explicit conditions on the deformation map only in special cases. There are still numerous interesting open questions in the area of PBW deformations. This work focuses on answering the two following main questions: 1) How do we translate the known conditions on PBW deformation maps into explicit parametrisations of these maps? 2) What does the center of PBW deformations look like? The first question will be approached in the setting of orthosymplectic groups. We will follow a combinatorial approach in Deligne's interpolation category. In that manner, we firstly describe a combinatorial basis of Hom-spaces in which the deformation maps live and impose the Jacobi identity there. This will be done combinatorially in terms of certain arc diagrams. From this, we obtain certain conditions that we can translate onto the deformation maps, in order to find explicit results on what a PBW deformation look like. This result then holds true for all orthosymplectic groups, and recovers special cases found by Etingof-Gan-Ginzburg (2005) and Tsymbaliuk (2015). We will approach the second question in different steps, which will be done for different levels of generality. This leads to an explicit formula for central elements for infinitesimal Hecke algebras of $\mathbb{so}_2$, and a conjecture for a whole family of central elements for infinitesimal Hecke algebras of $\mathbb{so}_n$.

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