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Degenerations of symplectic flag varieties via Lie theory and tropical geometry = Degenerationen symplektischer Fahnenvarietäten durch Lie-Theorie und tropischer Geometrie
2023
Dissertation, RWTH Aachen University, 2023
Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University
Genehmigende Fakultät
Fak01
Hauptberichter/Gutachter
; ;
Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2023-07-20
Online
DOI: 10.18154/RWTH-2023-08044
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/963945/files/963945.pdf
Einrichtungen
Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Lie algebras (frei) ; PBW filtration (frei) ; PBW tableaux (frei) ; flat degenerations (frei) ; representation theory (frei) ; symplectic flag varieties (frei) ; tropical geometry (frei)
Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510
Kurzfassung
In dieser Arbeit untersuchen wir flache Degenerationen projektiver Varietäten. Unsere Methoden basieren auf der Lie-Theorie, der tropischen Geometrie und der Kombinatorik. Insbesondere betrachten wir symplektische Fahnenvarietäten, die als homogene Räume entsprechend der symplektischen Lie-Gruppe verstanden werden können. Im ersten Teil behandeln wir flache Degenerationen, die durch Lie-theoretische Methoden entstehen. Diese werden konstruiert, indem zugehörige graduierte Räume berücksichtigt werden, die induzierten Poincaré-Birkoff-Witt (PBW)-Filtrationen auf einfachen Modulen mit dem höchsten Gewicht für die symplektische Lie-Algebra entsprechen. Solche Degenerationen werden PBW-Degenerationen genannt. Die entsprechenden symplektischen degenerierten Fahnenvarietäten wurden von Feigin, Finkelberg und Littelmann untersucht, die gezeigt haben, dass es sich bei diesen Varietäten um normalen lokal vollständigen Schnitte mit rationalen Singularitäten und Frobenius-Spaltung handelt. Darüber hinaus wurde gezeigt, dass diese Varietäten als Schubert-Varietäten in bestimmten symplektischen Fahnenvarietäten für eine symplektische Gruppe höheren Ranges realisiert werden können. Wir betrachten die Plücker-Einbettung dieser Varietäten und geben eine vollständige Beschreibung ihres definierenden Ideals unter dieser Einbettung. Wir verwenden die Kombinatorik bestimmter Analoga von Young-Tableaux, sogenannte PBW-Tableaux, die eine gewichtete Basis des homogenen Koordinatenrings kennzeichnen. Es ist nicht immer wahr, dass die PBW-Degenerationen mit Subvarietäten kompatibel sind. Wir charakterisieren vollständig symplektische Schubert-Subvarietäten, die diese Kompatibilität in Bezug auf symplektische Weyl-Gruppenelemente zulassen. Im zweiten Teil verwenden wir tropische Methoden, um allgemeinere flache Degenerationen zu konstruieren, die sich auf die oben diskutierten spezialisieren. Diese Degenerationen werden durch einen maximalen Primärkegel der tropischen symplektischen Fahnenvarietät gekennzeichnet. Die PBW-Tableaux sind in dieser Situation immer noch eine Basis für den homogenen Koordinatenring und wir verwenden ihre Kombinatorik in unseren Konstruktionen. Wir zeigen, dass jeder Punkt im relativen Inneren des obigen maximalen Kegels einer flachen Degeneration in eine torische Varietät entspricht, die mit dem Feigin-Fourier-Littelmann-Vinberg-Polytop verbunden ist. Nebenbei untersuchen wir in ihrem eigenen Interesse tropische symplektische Grassmann-Varietäten, die Bausteine für tropische symplektische Fahnenvarietäten sind, und liefern eine vollständige Charakterisierung.In this thesis, we study flat degenerations of projective varieties. Our methods stem from Lie theory, tropical geometry and combinatorics. More particularly, we consider symplectic flag varieties, which can be understood as homogeneous spaces corresponding to the symplectic Lie group. In the first part, we treat flat degenerations that arise by Lie theoretic methods. These are constructed by considering associated graded spaces corresponding to induced Poincaré-Birkoff-Witt (PBW) filtrations on simple highest weight modules for the symplectic Lie algebra. Such degenerations are called PBW degenerations. The corresponding symplectic degenerate flag varieties have been studied by Feigin, Finkelberg and Littelmann who have shown that these varieties are normal locally complete intersections with rational singularities and Frobenius split. Moreover, it has been shown that these varieties can be recovered as Schubert varieties in certain symplectic partial flag varieties for a symplectic group of higher rank. We consider the Plücker embedding of these varieties and give a full description for their defining ideal under this embedding. We use combinatorics of certain analogues of Young tableaux called PBW tableaux, which label a weighted basis of the homogeneous coordinate ring. It is not always true that the PBW degenerations are compatible with subvarieties. We fully characterize symplectic Schubert subvarieties that admit this compatibility in terms of symplectic Weyl group elements. In the second part, we use tropical methods to construct more general flat degenerations which specialize to the ones discussed above. These degenerations are labeled by a maximal prime cone of the tropical symplectic flag variety. The PBW tableaux are still a basis for the homogeneous coordinate ring in this setting and we use their combinatorics in our constructions. We show that every point in the relative interior of the above maximal cone corresponds to a flat degeneration into a toric variety associated with the Feigin-Fourier-Littelmann-Vinberg polytope. Along the way, we study in their own interest, tropical symplectic Grassmannians, which are building blocks for tropical symplectic flag varieties, and we provide a complete characterization.
OpenAccess: 
PDF
(additional files)
Dokumenttyp
Dissertation / PhD Thesis
Format
online
Sprache
English
Externe Identnummern
HBZ: HT030339879
Interne Identnummern
RWTH-2023-08044
Datensatz-ID: 963945
Beteiligte Länder
Germany
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