Multiresolution-based grid adaptation for hyperbolic conservation laws with uncertain initial data

Kolb, Adrian Jürgen; Herty, Michael; Müller, Siegfried

doi:42924

Multiresolution-based grid adaptation for hyperbolic conservation laws with uncertain initial data

Kolb, Adrian Jürgen^RWTH*

2023 & 2024

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Adrian Jürgen Kolb, M.Sc.

ImpressumAachen : RWTH Aachen University 2023

Umfang1 Online-Ressource : Illustrationen

Dissertation, RWTH Aachen University, 2023

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University 2024

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Herty, Michael (Thesis advisor)^RWTH* ; Müller, Siegfried (Thesis advisor)^RWTH*

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2023-12-01

Online
DOI: 10.18154/RWTH-2024-00677
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/977250/files/977250.pdf

Einrichtungen

Projekte

GRK 2326 - GRK 2326: Energie, Entropie und Dissipative Dynamik (320021702) (320021702)

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
discontinuous Galerkin methods (frei) ; hyperbolic conservation laws (frei) ; multiresolution analysis (frei) ; uncertainty quantification (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
In dieser Arbeit werden stochastische hyperbolische Erhaltungsgleichungen mit unsicheren Anfangsdaten betrachtet. Es ist bekannt, dass Lösungen von Erhaltungsgleichungen Unstetigkeiten aufweisen, die zu Unstetigkeiten in den stochastischen Dimensionen führen können. Das Hauptziel ist es, einen Einblick in die Interaktion räumlicher und stochastischer Skalen zu gewinnen. Dies wird als Grundlage für die Entwicklung effizienter numerischer Verfahren zur Approximation der stochastischen Momente dienen.Es wird das stochastische Problem in ein höherdimensionales deterministisches Problem eingebettet, in dem das räumliche Gebiet durch stochastische Variablen erweitert wird. Es wird gezeigt, dass für absolut stetige Zufallsvariablen die deterministische Formulierung mit dem ursprünglichen stochastischen Problem übereinstimmt.Ein Discontinuous Galerkin (DG) Verfahren wird auf das höherdimensionale deterministische Problem angewendet. Mittels einer Multiresolutionanalyse (MRA) wird eine lokale Gitteradaption sowohl in räumlicher als auch in stochastischer Richtung durchgeführt.Der Fehler, der durch das Abschneiden der Multiskalenzerlegung der Daten auftritt, kann kontrolliert werden.Diese lösungs-orientierte Adaptionsstrategie reduziert die Anzahl der Zellen in der Berechnung erheblich. Integration der höherdimensionalen deterministischen Lösung über den stochastischen Raum ermöglicht eine genaue Approximation der stochastischen Momente.Insbesondere wird die MRA der Daten des höherdimensionalen Ansatzes verwendet, um die Wechselwirkungen der verschiedenen Skalen zu untersuchen und Unstetigkeiten in räumlichen und stochastischen Richtungen aufzulösen.Durch Aufteilung der DG-Räume in die räumlichen und stochastischen Dimensionen wird eine neuartige Abschneidestrategie hergeleitet, die die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen in der MRA berücksichtigt. Es wird eine ziel-orientierte Adaptionsstrategie entwickelt, indem der lokale Schwellwert in stochastischer Richtung mit der lokalen Wahrscheinlichkeitsdichte gewichtet wird, so dass der Fehler in den stochastischen Momenten kontrolliert werden kann. Unter Verwendung der neuartigen Abschneidestrategie wird die Konvergenz der stochastischen Momente nachgewiesen, vorausgesetzt, dass das zugrunde liegende deterministische Verfahren konvergiert. Es wird gezeigt, dass die neuartige Adaptionsstrategie nicht nur die Interaktion der verschiedenen Skalen berücksichtigt, sondern auch ein geeignetes adaptives Gitter in Bezug auf die stochastischen Momente liefert. Es werden Vergleiche der beiden höherdimensionalen Strategien vorgestellt und es wird gezeigt, dass der ziel-orientierte Ansatz deutlich weniger Zellen zur Approximation der stochastischen Momente benötigt als der lösungs-orientierte Ansatz.Motiviert durch die Ergebnisse der höherdimensionalen deterministischen Ansätze wird eine Multilevel-Strategie entwickelt, die es erlaubt, die stochastischen Momente zu approximieren, ohne den räumlichen Bereich zu erweitern. Zu diesem Zweck werden niedrigdimensionale Funktionen eingeführt, die entweder von den räumlichen Richtungen oder von den stochastischen Richtungen abhängen und an gemeinsamen Quadraturpunkten miteinander interagieren. Die Anwendung der lösungs-orientierten MRA auf den Erwartungswert in räumlicher Richtung und der ziel-orientierten MRA in stochastischer Richtung führt zu einer ziel-orientierten Adaptionstrategie für die stochastischen Momente.Numerische Simulationen der eindimensionalen Burgers-Gleichung und den eindimensionalen Euler-Gleichungen mit unsicheren Anfangsdaten werden vorgestellt. Die Konvergenz der stochastischen Momente mit den höherdimensionalen deterministischen Strategien und der Multilevel-Strategie wird numerisch verifiziert. Die hier vorgestellten Methoden werden mit verschiedenen Monte-Carlo-Verfahren verglichen. Es zeigt sich, dass der höherdimensionale deterministische Ansatz und die Multilevel-Strategie bei der Approximation der stochastischen Momente deutlich effizienter sind als Monte-Carlo-Verfahren.

In this thesis, random hyperbolic conservation laws with uncertain initial data are considered. Solutions of conservation laws are known to exhibit discontinuities which can lead to discontinuities in the stochastic dimensions. The main objective is to gain insight in the interaction of spatial and stochastic scales. This will serve as a foundation for the development of efficient numerical schemes to approximate the stochastic moments.The stochastic problem is embedded in a higher-dimensional deterministic problem where the space domain is extended by stochastic variables. The consistency of the deterministic formulation with the original stochastic problem is proven for absolutely continuous random variables. A discontinuous Galerkin (DG) solver is applied to the higher-dimensional deterministic problem. By means of a multiresolution analysis (MRA) local grid adaptation is performed both in the spatial and stochastic directions. The perturbation introduced in each adaptation step by applying thresholding to the multiscale decomposition of the data can be controlled. This solution-based adaptation strategy significantly reduces the number of cells in the computation. It allows to accurately compute the stochastic moments by integrating the higher-dimensional deterministic solution over the stochastic space. In particular, the MRA of the data corresponding to the higher-dimensional approach is used to study the interactions of the different scales and to properly resolve discontinuities in spatial and stochastic directions.By splitting the DG spaces into the spatial and stochastic scales a novel thresholding strategy is derived accounting for the probability distribution of a random variable in the MRA. A goal-based adaptation strategy is proposed by weighting the local threshold value with the local probability density in the stochastic direction such that the perturbation error in the stochastic moments can be controlled. Convergence of the stochastic moments using the novel thresholding strategy is proven provided that the underlying deterministic scheme is converging. It is shown that the novel adaptation strategy not only considers the interaction of different scales but also yields an appropriate adaptive grid with respect to the stochastic moments. Comparisons of the two higher-dimensional strategies are presented and it is shown that the goal-based approach requires significantly fewer cells to approximate the stochastic moments than the solution-based approach.Motivated by the results of the higher-dimensional deterministic approaches a multilevel strategy is developed which allows to approximate the stochastic moments without inflating the spatial domain. For this purpose, lower-dimensional functions are introduced depending on either the spatial directions or the stochastic directions which are intertwined on joint quadrature points. Applying solution-based MRA on the expectation in spatial direction and goal-based MRA in the stochastic direction yields a goal-based grid adaptation strategy of the stochastic moments.Numerical simulations of the one-dimensional Burgers' equation and the one-dimensional Euler equations with uncertain initial data are presented. Convergence of the stochastic moments using the higher-dimensional deterministic strategies and the multilevel strategy is verified numerically. The methods presented here are compared with various Monte Carlo methods. It is shown that the higher-dimensional deterministic approach and the multilevel strategy are significantly more efficient than Monte Carlo methods when approximating the stochastic moments.

OpenAccess:
PDF
(additional files)