Symmetry of Skyrmions on the sphere

Schroeder, Helene; Westdickenberg, Maria Gabrielle; Venakides, Stephanos; Melcher, Christof

doi:HT030655590

Symmetry of Skyrmions on the sphere

Schroeder, Helene^RWTH*

2024

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Helene Schroeder

ImpressumAachen : RWTH Aachen University 2024

Umfang1 Online-Ressource : Illustrationen

Dissertation, RWTH Aachen University, 2024

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Melcher, Christof (Thesis advisor)^RWTH* ; Venakides, Stephanos (Thesis advisor) ; Westdickenberg, Maria Gabrielle (Thesis advisor)^RWTH*

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2024-01-22

Online
DOI: 10.18154/RWTH-2024-00899
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/977795/files/977795.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Landau-Lifshitz (frei) ; Lojasiewicz (frei) ; analysis (frei) ; minimality (frei) ; skyrmions (frei) ; symmetry (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
Wir betrachten Skyrmionen auf der Sphäre, die als kritische Punkte eines magnetischen Energiefunktion als bestehend aus Dirichletterm und Anisotropie aufkommen. Durch die Krümmung der Sphäre sind diese beiden Terme ausreichend, um kritische Punkte gegen die Skalierungsinvarianz des Dirichletterms zu stabilisieren. Zudem wird durch die Anisotropie die Invarianz dieses Terms unter unabhängigen Rotationen der Definitions- und Bildsphäre gebrochen, sodass nur Invarianz unter gleichzeitigen Drehungen übrigbleibt. Das Ziel dieser Arbeit ist es, den Effekt dieser verbleibenden Invarianz auf Minimierer und kritische Punkte zu verstehen. Zuerst konzentrieren wir uns auf achsensymmetrische Skyrmionen auf der Sphäre, die selbst invariant unter gleichzeitigen Drehungen um eine gegebene Drehachse sind. Wir verwenden Standardmethoden, um Existenz und Regularität von Minimierern in dieser Symmetrieklasse zu zeigen und nutzen dann die Symmetrie, um ihre Form detaillierter zu untersuchen. Eine genaue Analyse der Energiedichte und andere Energieargumente führen zum Beweis diverser Eigenschaften. Zudem geben wir einige Abschätzungen für den Fall hoher Anisotropie an. Als zweites untersuchen wir die Minimalität dieser Skyrmionen in einer größeren Klasse. Wir zeigen, dass die zur magnetischen Energie zugehörige Hessesche positiv semidefinit ist und bestimmen die Elemente ihres Kerns. Unter der Annahme strikter Konvexität innerhalb der achsensymmetrischen Klasse folgern wir die lokale Minimalität achsensymmetrischer Skyrmionen bis auf Invarianzen der Energie. Schließlich konstruieren wir nichttriviale periodische Lösungen für die zugehörige Landau-Lifshitz Gleichung. Dafür betrachten wir die Minimierung der Energie unter einer Einschränkung für den Drehmoment, die Symmetriebrechung forciert. Wir zeigen, dass bedingte Minimierer eine Euler-Lagrange Gleichung mit Lagrangemultiplikator $\omega$ lösen, und verwenden eine Łojasiewicz Ungleichung für die magnetische Energie um $\omega\neq 0$ zu bestätigen.

We study Skyrmions on the Sphere which arise as critical points of a magnetic energy involving only exchange energy and easy -- normal anisotropy. Due to the curved nature of the sphere, these two terms suffice to stabilize critical points against the scaling invariance of the Dirichlet term. Furthermore, the normal anisotropy breaks the invariance of this term under individual rotations of the domain and target sphere, leaving only invariance under joint rotations. The goal of this thesis is to understand the effect that this remaining invariance has on the symmetry of minimizers and critical points. First, we focus on axisymmetric Skyrmions on the sphere, which are themselves invariant under joint rotations around a given axis. We use standard methods to show existence and regularity of minimizers in this symmetry class and then exploit the symmetry to study their shape in more detail. A fine analysis of the energy density and other energy arguments lead to the proof of several properties. We also give some estimates for the case of a high anisotropy parameter. Secondly, we investigate the minimality of these Skyrmions in a broader class. We find that the Hessian associated to the magnetic energy is positive semidefinite and identify the elements of its kernel. Under the assumption of strict convexity within the axisymmetric class, we deduce local minimality of axisymmetric Skyrmions up to invariances of the energy. Finally, we construct non-trivial periodic solutions for the Landau-Lifshitz equation associated to the magnetic energy functional. For this, we consider the minimization of the energy under a constraint on the angular momentum which enforces symmetry breaking. We show that constrained minimizers solve an Euler-Lagrange equation with Lagrange multiplier $\omega$ and employ a Łojasiewicz inequality for the magnetic energy to confirm $\omega\neq 0$.

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