Phase transitions in classical systems : anisotropic models, computational methods, and universality predictions

Kischel, Florian; Helias, Moritz; Weßel, Stefan

doi:10.18154/RWTH-2024-05870

Phase transitions in classical systems : anisotropic models, computational methods, and universality predictions

Kischel, Florian^RWTH*

2024

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Florian Kischel, M.Sc.

ImpressumAachen : RWTH Aachen University 2024

Umfang1 Online-Ressource : Illustrationen

Dissertation, RWTH Aachen University, 2024

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Weßel, Stefan (Thesis advisor)^RWTH* ; Helias, Moritz (Thesis advisor)^RWTH*

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2024-06-14

Online
DOI: 10.18154/RWTH-2024-05870
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/987839/files/987839.pdf

Einrichtungen

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 530

Kurzfassung
Diese Arbeit beschäftigt sich mit Phasenübergängen in klassischen Systemen mit Schwerpunkt auf dem anisotropen Ising-Modell in zwei Dimensionen auf Parallelogramm-Gittern. Nach einer ersten Diskussion der Forschungshistorie von Phasenübergänge und speziell wie Anisotropien in der Renormierungsgruppentheorie behandelt wurden, wird eine Einführung in die Mehrparameter-Universalität (multi-parameter universality) gegeben. Es folgt die Ableitung der exakten Lösung des vollständig anisotropen 2d-Ising-Modells auf einem endlichen Parallelogramm-Gitter bei allen Temperaturen und Kopplungen mit Hilfe von nicht-kommutierenden Grassmann-Variablen. Von dort wird die Skalierungsfunktion in der Nähe des kritischen Punktes im ferromagnetischen Bereich hergeleitet. Zusätzlich werden einige Vorhersagen der Mehrparameter-Universalität in Bezug auf nicht-universelle Vorfaktoren, modulare Invarianz und Verhalten direkt am kritischen Punkt bestätigt. Schließlich wird der Streifenlimes des Modells diskutiert und Verbindungen zu vorherigen Ergebnissen von Spezialfällen hergestellt. Im nächsten Kapitel wird die Untersuchung von anisotropen Systemen in 2d durch die Diskussion des Potts-Modells mit q Zuständen fortgesetzt und der Versuch seine winkelabhängigen Korrelationslängen, eine charakterisierende Größe gemäß der Mehrparameter-Universalität, über einen Tensor-Netzwerk-Ansatz zu bestimmen, präsentiert. Genauer gesagt, wird der Corner Transfer Matrix Renormalization Group (CTMRG) Algorithmus verwendet, um die relevanten Größen numerisch zu extrahieren. Eine Reihe von Überprüfungen und Vergleichen mit den wenigen, exakten Ergebnissen werden durchgeführt, um die fortlaufend hohe Genauigkeit der Simulationsmethode zu gewährleisten. Schließlich wird das Übergangsverhalten von diskreten zu kontinuierlichen Freiheitsgeraden in einem modifizierten 3d-Uhren-Modell (Clock model), einem Verwandten des Potts-Modells, untersucht. Dieses Modell zeigt einen Phasenübergang erster Ordnung zwischen einer geordneten und einer ungeordneten Phase und, basierend auf vorherigen Arbeiten, können Vorhersagen gemacht werden, in welchem Umfang die Phasen am Übergangspunkt beitragen, wenn die Uhr entweder drei verschiedene Zustände hat oder, am anderen Extrem, unendlich viele. Dieses Verhalten wird an und zwischen diesen Extremen mit dem Wang-Landau-Monte-Carlo-Algorithmus simuliert, der sehr gut für Systeme geeignet ist, welche komplizierte Energieverteilungen aufweisen, wie sie in der Nähe und bei Übergängen erster Ordnung auftreten. Eine breite Palette von Systemgrößen wird simuliert und besondere Sorgfalt wird darauf verwendet, den Übergangspunkt im thermodynamischen Limes sorgfältig zu bestimmen, da von diesem die Genauigkeit der Endresultate stark abhängt.

This thesis is mostly concerned with phase transitions in classical systems, with a focus on the anisotropic Ising model in two dimensions and on parallelogram lattices. After first discussing the history of phase transitions and specifically how anisotropies were treated in the renormalization group approach, an introduction to multi-parameter universality is given. This is followed by a derivation, using anti-commuting Grassmann variables, of the exact solution of the fully anisotropic 2d Ising model on a finite parallelogram lattice for all temperatures and couplings; from there, the scaling function near the critical point in the ferromagnetic regime is recovered. Additionally, some predictions made by multi-parameter universality regarding non-universal prefactors, modular invariance and behavior at criticality are confirmed. Finally, the strip limit of the model is discussed and connections to previous results of more restricted cases are made. In the next chapter, the investigation of anisotropic systems in 2d is continued, now by discussing the q-state Potts model and attempting to measure its angle dependent correlation lengths, a characterizing quantity according to multi-parameter universality, via an tensor network approach. More specifically, the Corner Transfer Matrix Renormalization Group (CTMRG) algorithm is used to numerically extract the quantities of interest. A range of checks and comparisons to the few exactly known results are made to ensure a continued high accuracy of the simulation method. Finally, the discrete to continuous crossover behavior in a modified 3d clock model, a relative of the Potts model, is investigated. This model exhibits a first order phase transition between an ordered and disordered phase and, based on prior work, predictions can be made for how much the phases contribute at the transition point when the clock has either three different states or, on the other extreme, infinitely many. This behavior is simulated at and between these extremes using the Wang-Landau Monte Carlo algorithm, which is very well suited for systems that exhibit complicated energy distributions, as present near and at first order phase transitions. A wide range of system sizes are simulated and care is taken to carefully determine the bulk transition temperature on which the accuracy of the final results depends very crucially.

OpenAccess:
PDF
(zusätzliche Dateien)