Finite symplectic matrix groups

Kirschmer, Markus; Nebe, Gabriele

doi:29351

Finite symplectic matrix groups = Endliche symplektische Matrixgruppen

Kirschmer, Markus (Author)

2009

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Markus Kirschmer

ImpressumAachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University 2009

Umfang151 S.

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2009

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Nebe, Gabriele (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2009-03-24

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-opus-27584
URL: http://publications.rwth-aachen.de/record/50695/files/Kirschmer_Markus.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Matrizengruppe (Genormte SW) ; Ganzzahliges Gitter (Genormte SW) ; Ganzzahlige Darstellungstheorie (Genormte SW) ; Algebraische Zahlentheorie (Genormte SW) ; Mathematik (frei) ; matrix group (frei) ; integral lattice (frei) ; integral representation theory (frei) ; algebraic number theory (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510
msc: 20H20 * 20C10 * 20G30 * 11E12 * 20-04

Kurzfassung
Eine Untergruppe G von GL(m, Q) ist genau dann endlich, wenn sie ein volles Gitter in Q^m sowie eine positiv definite symmetrische Form fixiert. Die Gruppe G heißt symplektisch, falls sie eine invertierbare schiefsymmetrische Form respektiert. Solche Gruppen existieren nur für gerade m. Eine endliche symplektische Untergruppe von GL(2n, Q) heißt symplektisch maximal endlich, wenn sie in keiner anderen endlichen symplektischen Untergruppe von GL(2n, Q) echt enthalten ist. In der vorliegenden Arbeit werden die Konjugiertenklassen aller symplektischen maximal endlichen Untergruppen von GL(2n, Q) bis zum Grad 2n=22 klassifiziert. Die natürliche Darstellung einer symplektisch maximal endlichen Matrixgruppe ist die Summe paarweiser nicht isomorpher rational irreduzibler Darstellungen, welche symplektische Matrixgruppen liefern. Daher genuegt es, nur die Konjugiertenklassen symplektisch maximal endlicher Matrixgruppen zu klassifizieren, deren natürliche Darstellung rational irreduzibel ist. Solche Gruppen wollen wir symplektisch irreduzibel maximal endlich (s.i.m.e.) nennen. Das Vorgehen ist ähnlich der Bestimmung der maximal endlichen Untergruppen von GL(m, Q). Jede s.i.m.e. Matrixgruppe ist die volle Automorphismengruppe eines ganzen Gitters bezüglich einer symmetrisch positiv definiten sowie einer schiefsymmetrischen Form. Eine rational irreduzible symplektische Matrixgruppe heißt symplektisch imprimitiv, falls sie zu einer Untergruppe eines Kranzprodukts einer anderen symplektischen Untergruppe konjugiert ist. Die symplektisch imprimitiven Gruppen lassen sich aus der Klassifikation der symplektischen Gruppen kleinerer Dimension leicht konstruieren und mittels orthogonalen Zerlegungen von Gittern auch als solche erkennen. Daher kann man die Klassifikation auf die symplektisch primitiven irreduziblen maximal endlichen (s.p.i.m.e.) Matrixgruppen beschränken. Primitivität hat weitreichende Konsequenzen für Normalteiler. So ist die Einschraenkung der natürlichen Darstellung einer symplektisch primitiven Matrixgruppe auf einen Normalteiler stets das Vielfache einer einzelnen rational irreduziblen Darstellung. Daraus folgt, dass es für die verallgemeinerte Fittinggruppe einer s.p.i.m.e. Matrixgruppe G < GL(2n, Q) nur endlich viele Kandidaten gibt. Ferner hängt die Menge dieser Kandidaten nur von n ab. Die möglichen Fittinggruppen von G ergeben sich aus einem Satz von Hall. Die möglichen Komponenten von G (quasieinfache subnormale Untergruppen) erhält man aus dem ATLAS der endlichen einfachen Gruppen. Ein nützliches Hilfsmittel zur Bestimmung der s.p.i.m.e. Matrixgruppen G ist die sogenannte verallgemeinerte Bravaisgruppe B(N). Mit N ist auch B(N) ein Normalteiler von G. Außerdem ist es möglich, bis auf Konjugation alle s.i.m.e. Obergruppen einer gegebenen irreduziblen Matrixgruppe U zu bestimmen, falls die kommutierende Algebra von U ein Körper ist. Des Weiteren werden in der Arbeit einige unendliche Serien von s.i.m.e. Matrixgruppen konstruiert. Insbesondere werden für alle Primzahlen p>=5 die s.i.m.e. Untergruppen von GL(p-1, Q) und GL(p+1, Q) bestimmt, deren Ordnung durch p teilbar ist.

The finite subgroups of GL(m, Q) are those subgroups that fix a full lattice in Q^m together with some positive definite symmetric form. A subgroup of GL(m, Q) is called symplectic, if it fixes a nondegenerate skewsymmetric form. Such groups only exist if m is even. A symplectic subgroup of GL(2n, Q) is called maximal finite symplectic if it is not properly contained in some finite symplectic subgroup of GL(2n, Q). This thesis classifies all conjugacy classes of maximal finite symplectic subgroups of GL(2n, Q) up to 2n=22. The natural representation of a maximal finite symplectic matrix group is a sum of pairwise nonisomorphic rationally irreducible representations that yield maximal finite symplectic matrix groups. Thus, it suffices to classify the (conjugacy classes of) symplectic irreducible maximal finite (s.i.m.f.) matrix groups. One can proceed as in the classification of the maximal finite subgroups of GL(m, Q). Each s.i.m.f. matrix group is the full automorphism groups of some lattice with respect to a symmetric positive definite form and a skewsymmetric form. A symplectic matrix group is called symplectic imprimitive if it is contained (up to conjugacy) in a wreath product of some symplectic matrix group. The symplectic imprimitive matrix groups can be constructed by the classification of the s.i.m.f. subgroups of smaller dimension. Further they can easily be recognized by orthogonal decompositions of invariant lattices. Thus we only have to classify the symplectic primitive irreducible maximal finite (s.p.i.m.f.) matrix groups. The concept of primitivity has some important consequences. The restriction of the natural representation of a s.p.i.m.f. matrix group to a normal subgroup is a multiple of a single rationally irreducible representation. This implies that there are only finitely many possibilites for the generalized Fitting subgroup of a s.p.i.m.f. matrix group G < GL(2n, Q). Moreover, the list of candidates only depends on n. The possible Fitting subgroups are given by a theorem of Hall. The possible layers (central products of quasisimple groups) can be taken from the ATLAS of finite simple groups. A useful tool for the classification of all s.p.i.m.f. matrix groups G is the so-called generalized Bravais group B(N). If N is normal in G, so is B(N). Furthermore, it is possible to classify all s.i.m.f. supergroups of a given irreducible matrix group U, provided that the commuting algebra of U is a field. Moreover, some infinite families of s.i.m.f. matrix groups are constructed. In particular, all s.i.m.f. subgroups of GL(p-1, Q) and GL(p+1, Q) whose orders are divisible by a prime p>=5 are determined.

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