Copulas and stochastic processes

Schmitz, Volker; Bock, Hans-Hermann

doi:25117

Copulas and stochastic processes

Schmitz, Volker (Author)

2003 & 2004

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Volker Schmitz

ImpressumAachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University 2003

UmfangVI, 110 S. : graph. Darst.

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2003

Prüfungsjahr: 2003. - Publikationsjahr: 2004

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Bock, Hans-Hermann (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2003-01-21

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-opus-9356
DOI: 10.18154/RWTH-CONV-121057
URL: http://publications.rwth-aachen.de/record/59254/files/59254.pdf

Einrichtungen

Fakultät für Mathematik, Informatik und Naturwissenschaften (100000)

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Kopula <Mathematik> (Genormte SW) ; Stochastischer Prozess (Genormte SW) ; Mathematik (frei) ; Copulas (frei) ; Stochastic Processes (frei) ; Dependence Structures (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
Die Modellierung und Erfassung von Abhängigkeiten zwischen Zufallsvariablen ist eines der am intensivsten studierten Felder im Bereich der Stochastik. Das – gerade in der Praxis – am häufigsten benutzte Modell ist sicherlich die reine Modellierung von sogenannten Korrelationsstrukturen, die auf zweiten Momenten von Zufallsvariablen beruhen. Es ist bekannt, dass diese Modelle nur lineare Abhängigkeit erfassen und daher nur in Spezialfällen, wie z.B. der Normalverteilung, charakterisierend sind. Eine Möglichkeit, diese Probleme zu umgehen, bieten Copulas, die im Wesentlichen multivariate Verteilungsfunktionen auf dem Einheitswürfel mit auf (0,1) uniform verteilten Rändern sind. Obwohl der Schwerpunkt der aktuellen Forschung auf räumlicher Modellierung liegt (im Sinne mehrerer Größen zu einem bestimmten Zeitpunkt), bieten Copulas gleichermaßen die Möglichkeit, die intertemporalen Abhängigkeiten eines stochastischen Prozesses zu analysieren. Dieser Themenkomplex wurde erstmalig von W.F. Darsow, B. Nguyen und E.T. Olsen (1992) behandelt, die die Verbindung von Markoffprozessen und Copulas aufzeigten. Die vorliegende Arbeit untersucht Möglichkeiten, die intertemporale Abhängigkeitsstruktur stochastischer Prozesse mit Hilfe Copulas zu analysieren und zu modellieren. Dabei werden allgemein bekannte Begriffe wie strikte Stationarität, Symmetrie oder Äquivalenz von Prozessen mittels Copulas charakterisiert. Hinreichende Bedingungen an die bivariaten Copulas vermitteln ein neues Kriterium und damit einhergehend ein neue Sichtweise der stochastischen Stetigkeit. Weiterhin wird z.B. anhand sogenannter EFGM-Prozesse und von Rekorden deutlich gemacht, dass bekannte Beweise durch Copulas deutlich kürzer und/oder elementarer gestaltet werden können. Durch die bekannte Technik der Zeittransformation wird die Copula-Struktur stetiger lokaler Martingale hergeleitet, die zum Beispiel dafür verwendet werden kann, neue Prozesse mit vorgegebener intertemporaler Abhängigkeitsstruktur zu erzeugen.

The modelling of dependence relations between random variables is one of the most widely studied subjects in probability theory and statistics. The most prominent models, particularly in practice, are presumably those which are based on correlation structures using second order moments. However, it is well known that only linear dependence can be captured this way and that it is characterizing only for special classes of distributions, for example the normal distribution. One possibility to avoid these limitations is to use copulas. These are multivariate distribution functions on the unit square with marginals being uniformly distributed on the unit interval. They separate the dependence structure from the influence of the marginals. Although most of the current research in copulas is done for spatial dependence (in the sense of a number of variables at the same time), copulas equally offer the possibility to analyze the intertemporal dependencies of stochastic processes. This was first observed by W.F. Darsow, B. Nguyen und E.T. Olsen (1992), who connected copulas to Markov processes. This thesis extends the relationship between copulas and stochastic processes into new directions and shows that the copula approach can provide new structural insights into stochastic processes. Known properties such as strict stationarity, symmetry or equivalence of processes are characterized. Sufficient conditions such that the process is stochastically continuous are derived by copulas and provide a new structural understanding of this type of continuity. Additionally, it is shown by example of EFGM processes and records that copulas may shorten existing proofs or make them more elementary. The technique of time transformation enables us to derive the copula structure of continuous local martingales which can then be used to generate new processes with a given intertemporal dependence structure.

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