Novel approaches to the description of one-dimensional correlated fermions

Markhof, Lisa Carola; Meden, Volker; Honerkamp, Carsten

doi:10.18154/RWTH-2019-04748

Novel approaches to the description of one-dimensional correlated fermions = Neuartige Zugänge zur Beschreibung eindimensionaler korrelierter Fermionen

Markhof, Lisa Carola^RWTH*

2019

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Lisa Markhof, M.Sc.

ImpressumAachen 2019

Umfang1 Online-Ressource (114 Seiten) : Illustrationen

Dissertation, RWTH Aachen University, 2019

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Meden, Volker (Thesis advisor)^RWTH* ; Honerkamp, Carsten (Thesis advisor)^RWTH*

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2019-05-16

Online
DOI: 10.18154/RWTH-2019-04748
URL: http://publications.rwth-aachen.de/record/761313/files/761313.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
functional renormalization group (frei) ; one-dimensional quantum systems (frei) ; strongly correlated electrons (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 530

Kurzfassung
In der vorliegenden Arbeit werden eindimensionale (1D) spinlose Fermionen im Gleichgewicht und (hauptsächlich) bei Temperatur T=0 betrachtet. Im ersten Teil beschäftigen wir uns mit einer Erweiterung der Theorie der Luttingerflüssigkeiten („Luttinger liquid", LL). Im zweiten Teil untersuchen wir zwei mikroskopische Modelle mit der funktionalen Renormierungsgruppe (FRG). Viele 1D-Modelle gehören zu der sogenannten LL-Universalitätsklasse. Ihre Niederenergieeigenschaften stimmen mit denen des exakt lösbaren Tomonaga-Luttinger (TL)-Modells überein, es sind lediglich zwei Parameter zu bestimmen. Im TL-Modell ist die Dispersionsrelation der Fermionen linear. Für mikroskopische Modelle muss jenseits des Niederenergielimes auch die Nichtlinearität der Dispersion berücksichtigt werden, was allerdings allgemein nicht exakt möglich ist. Untersuchungen des dynamischen Strukturfaktors (DSF) in Störungstheorie erster Ordnung haben zu der Formulierung der „nonlinear Luttinger liquid" (NLLL)-Phänomenologie geführt. Laut dieser ist ein exakt lösbarer Hamiltonoperator mit einer mobilen Störstelle das passende Modell, um wechselwirkende Fermionen mit nichtlinearer Dispersion zu beschreiben. Wir berechnen in dieser Arbeit die zweite Ordnung einer störungstheoretischen Entwicklung des DSF und zeigen, dass das Ergebnis mit der Vorhersage der NLLL-Phänomenologie vereinbar ist. Außerdem untersuchen wir die Konstruktion des Mobile-Störstelle-Hamiltonians und diskutieren die Gültigkeit der dabei gemachten Näherungen. Dabei zeigt sich, dass es nicht möglich ist, die Impulsabhängigkeit des Wechselwirkungspotentials vollständig zu berücksichtigen. Dies wird in den Kontext bekannter Ergebnisse zum TL-Modell gesetzt, in dem ähnliche Näherungen zu Artefakten führen können. Im zweiten Teil untersuchen wir zunächst das Phasendiagramm einer „tight-binding"-Kette mit nächster- und übernächster-Nachbar-Wechselwirkung. Wir verwenden eine kürzlich entwickelte Näherung an die FRG-Flussgleichungen, die „extended coupled ladder approximation" (eCLA). Das Phasendiagramm des zu untersuchenden Modells ist bereits bekannt, und Phasenübergänge finden bei mittleren und bei starken Wechselwirkungen statt. Damit können wir die Qualität der eCLA-FRG-Ergebnisse in diesem Parameterbereich abschätzen. Wir zeigen, dass die Resultate der eCLA-FRG Phasenübergänge von einer metallischen Phase zu ladungsgeordneten Phasen widerspiegeln. Dies ist in einer Erste-Ordnungs-FRG nicht der Fall. Eine Bindungsordnungsphase, die ebenfalls im Phasendiagramm auftritt, lässt sich aus unseren Ergebnissen jedoch nicht ablesen. Schließlich betrachten wir noch das Aubry-André-Modell. Dieses zeigt sowohl im nicht-wechselwirkenden als auch im wechselwirkenden Fall einen Phasenübergang von einer ergodischen zu einer lokalisierten Phase, welchen wir mit der eCLA-FRG analysieren. Dazu leiten wir zunächst die Flussgleichungen für einen „Komposit-Operator" in der eCLA her, um die bipartiten Fluktuationen F auszurechnen. Neben F betrachten wir außerdem die Einteilchen-Dichtematrix. Üblicherweise werden zur Untersuchung von (Vielteilchen-) Lokalisierung angeregte Zustände betrachtet. Da uns diese in der eCLA-FRG nicht zugänglich sind, stoppen wir stattdessen den FRG-Fluss vorzeitig oder verwenden eine endliche Temperatur. Allerdings gelingt es uns nicht, eine Observable zu finden, die wir in der eCLA-FRG ausrechnen können und die uns den Phasenübergang zuverlässig anzeigt.

In this thesis, we study two different aspects of one-dimensional (1D) interacting spinless fermions in equilibrium and (mostly) at zero temperature. In the first part, we consider an extension of the Luttinger liquid (LL) theory. In the second part, the phases of two microscopic models are examined with the functional renormalization group (FRG).LL universality implies that, in the scaling limit, the correlation functions of many gapless 1D models are equal to those of the exactly solvable Tomonaga-Luttinger (TL) model. Only two parameters have to be determined for complete knowledge of the low-energy properties. In the TL model, the dispersion relation of the fermions is assumed to be linear. Taking into account a nonlinear dispersion to understand correlation functions beyond the scaling limit is a great challenge. Guided by the result from a first order perturbative calculation of the dynamic structure factor (DSF), the nonlinear Luttinger liquid (NLLL) phenomenology was developed. In this, an exactly solvable mobile-impurity model Hamiltonian was suggested to be the appropriate low-energy effective model. It predicts power law behavior in correlation functions such as the DSF or the single-particle spectral function. Here, we provide a calculation of the second order perturbative correction of the DSF, and show that the result is compatible with this prediction. Furthermore, we carefully analyze the construction of the mobile-impurity model Hamiltonian. Several approximations must be implemented, and we assess their justifications. In particular, we find that it is impossible to keep the full momentum dependence of the interaction potential. This is discussed in the context of known results of the TL model, where similar approximations can lead to artifacts in the single-particle spectral function.In the second part, we examine a tight-binding model with nearest and next-nearest neighbor interactions using the recently developed extended coupled ladder approximation (eCLA) FRG. The phase diagram of the model is known, and there are phase transitions at intermediate and strong interactions. We can, therefore, study the performance of the eCLA FRG in this parameter regime. We find that the eCLA captures phase transitions from a metallic phase to charge ordered phases at dominant nearest or next-nearest neighbor interactions. This is not possible within a first order FRG scheme. However, a bond order phase known to be present in the phase diagram is absent in our analysis.We finally investigate the Aubry-André model using the eCLA FRG. This model, which features a quasirandom on-site potential, is known to exhibit a phase transition from an ergodic to a localized phase, both in the noninteracting and in the interacting case (many-body localization). We use different observables in an attempt to pinpoint the critical on-site potential strength. For this, we derive flow equations for a composite operator within the eCLA in order to calculate the bipartite fluctuations. We also examine the one-particle density matrix. In the eCLA FRG, we do not have access to states with a finite energy density which are usually used in localization studies. We, therefore, stop the flow at a finite flow parameter, or consider a finite temperature. Unfortunately, we do not find an observable that we can calculate with the eCLA FRG that allows us to distinguish appropriately between the ergodic and the localized phase.

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