Moment approximations to the Boltzmann equation and their numerical solutions based on finite element methods

Christhuraj, Edilbert; Torrilhon, Manuel; Köllermeier, Julian

doi:44340

Moment approximations to the Boltzmann equation and their numerical solutions based on finite element methods = Moment-Approximationen der Boltzmann-Gleichung und deren numerische Lösungen auf Basis von Finite-Elemente-Methoden

Christhuraj, Edilbert^RWTH*

2025

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Edilbert Christhuraj, M.Sc.

ImpressumAachen : RWTH Aachen University 2025

Umfang1 Online-Ressource : Illustrationen

Dissertation, RWTH Aachen University, 2025

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Torrilhon, Manuel (Thesis advisor)^RWTH* ; Köllermeier, Julian (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2025-03-21

Online
DOI: 10.18154/RWTH-2025-04745
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/1011813/files/1011813.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Boltzmann equation approximation (frei) ; finite element method (frei) ; kinetic gas theory (frei) ; kinetische Gleichung (frei) ; moment method (frei) ; simulation of non-equilibrium gas flows (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
Nicht-Gleichgewichts-Gasströmungen treten in vielen physikalischen Prozessen auf, wie etwa beim Wiedereintritt von Raumfahrzeugen in die Atmosphäre, in Vakuumgeräten wie Pumpen oder in miniaturisierten mikro-elektromechanischen Systemen, um nur einige Beispiele zu nennen. Die Simulation solcher verdünnter Gasströmungen ist ein aktives Forschungsfeld in der Gemeinschaft der kinetischen Gastheorie geblieben. Kinetische Modelle wie die Boltzmann-Gleichung beschreiben die Entwicklung von Gasströmungen über ein breites Spektrum von Strömungsregimen hinweg – von nahezu kontinuierlich bis hin zu stark verdünnt. Das enge Regime, das nahezu kontinuierliche Strömungen mit starkem Nicht-Gleichgewicht verbindet, wird als Übergangsregime bezeichnet. Die Simulation von Gasströmungen in diesem Regime ist besonders anspruchsvoll, da die klassischen Gleichungen der Fluiddynamik, wie die Navier-Stokes-Fourier-Gleichungen, hier nicht mehr gültig sind. Die Boltzmann-Gleichung ist zwar gültig, aber ihre direkte Lösung ist rechnerisch sehr aufwendig. Die Momentenmethode, die ihren Ursprung in der kinetischen Gastheorie hat, stellt eine Näherung der Boltzmann-Gleichung dar. Sie bietet einen Kompromiss zwischen Genauigkeit und Rechenaufwand. Aufgrund ihrer Struktur ergibt sich eine Hierarchie von Momentenmodellen mit zunehmender Momentenordnung. Modelle niedriger Ordnung gelten als Erweiterung der klassischen Fluiddynamik. Mit steigender Momentenordnung werden die Modelle umfassender und sind theoretisch besser geeignet, komplexe Prozesse zu simulieren. Diese Dissertation erweitert die Anwendung und Entwicklung von Momentengleichungen zur Simulation von Nicht-Gleichgewichts-Gasströmungen durch ihre Anwendung auf dreidimensionale Probleme und die Bereitstellung eines generischen numerischen Frameworks zur Lösung von Momentensystemen. Sie besteht aus zwei Hauptarbeiten. Im ersten Teil der Dissertation demonstrieren wir die Anwendbarkeit der Momentengleichungen auf ein reales, dreidimensionales Problem – ein bedeutender Fortschritt, da bisherige Studien überwiegend ein- oder zweidimensionale Prozesse betrachteten. Diese Arbeit untersucht die dreidimensionalen regularisierten 13-Momenten-Gleichungen (R13). Sie behandelt die theoretischen Grundlagen dieser Gleichungen, ihre Variationsformulierung und die Implementierung mit FEniCS. Die Implementierung wird durch Strömungssimulationen über einer Kugel validiert, und ihre praktische Anwendbarkeit wird durch die Untersuchung des Crookes-Radiometers demonstriert. Die Studie quantifiziert die radiometrische Kraft und untersucht, wie Faktoren wie Gasdruck, Dicke und Länge der Schaufeln diese Kraft beeinflussen. Im zweiten Teil präsentieren wir einen systematischen Ansatz zur Herleitung generischer Momentensysteme und entwickeln ein numerisches Framework auf Basis der Finite-Elemente-Methode, das in der Lage ist, Momentengleichungen beliebiger Ordnung zu lösen. Wir diskutieren die Vorteile der Formulierung höherordentlicher partieller Differentialgleichungen als Systeme erster Ordnung und untersuchen entropiestabile Randbedingungen. Die Arbeit beinhaltet außerdem eine generische Variationsformulierung und eine Implementierung der 13-Momenten-Gleichungen, begleitet von verschiedenen numerischen Simulationen zur Validierung des Frameworks. Dieser Ansatz erweitert nicht nur den Anwendungsbereich von Momentenmodellen, sondern bietet auch einen systematischen und skalierbaren Weg zu höherordentlichen Momentengleichungen, wodurch ihre Anwendbarkeit auf ein breiteres Spektrum von Nicht-Gleichgewichts-Gasströmungsproblemen verbessert wird. Zusammen leisten diese Beiträge einen wesentlichen Fortschritt in der Nützlichkeit und Anpassungsfähigkeit von Momentengleichungen und schlagen eine Brücke zwischen theoretischen Modellen und praktischen, rechnerisch machbaren Lösungen für die Nicht-Gleichgewichts-Gasdynamik.

Non-equilibrium gas flows occur in many physical processes, such as the re-entry of space vehicles into the atmosphere, vacuum devices like pumps, and miniaturized micro-electro-mechanical systems, to name a few. Simulating these rarefied gas flows has remained an active research area within the kinetic gas theory community. Kinetic models, such as the Boltzmann equation, accurately describe the evolution of gas flows across a wide range of flow regimes—from near-continuum to highly rarefied. The narrow regime that connects near-continuum flows to highly non-equilibrium flows is known as the transition regime. Simulating gas flows in this regime is challenging because classical fluid dynamics equations, such as the Navier-Stokes-Fourier equations, are not valid, and while the Boltzmann equation is valid, it is costly to solve directly. Tracing its origins in kinetic gas theory, the moment method describes an approximation to the Boltzmann equation. It offers a balance between accuracy and computational cost. The inherent nature of the moment method leads to a hierarchy of moment models, each of increasing moment order. Lower-order moment models are viewed as extensions of classical fluid dynamics theory. As the moment order increases, the models become more comprehensive and, in theory, are better suited for simulating complex processes. This thesis advances the application and development of moment equations for simulating non-equilibrium gas flows by extending their use to three-dimensional problems and providing a generic numerical framework for solving moment systems. It consists of two primary works. In the first part of the thesis, we demonstrate the applicability of moment equations to a real-world, three-dimensional problem—a significant step forward, as previous studies have predominantly focused on one- or two-dimensional processes. This work explores the three-dimensional regularized 13-moment (R13)equations. It covers the theoretical foundation of these equations, their variational formulation, and implementation using FEniCS. The implementation is validated through simulations of flow over a sphere, and its practical applicability is demonstrated by investigating the Crookes radiometer. The study quantifies the radiometric force and examines how factors like gas pressure, vane thickness and length affect this force. In the second part, we present a systematic approach for deriving generic moment systems and develop a finite-element-based numerical framework capable of solving moment equations of arbitrary order. We discuss the advantages of formulating higher-order partial differential equations as first-order systems and explore entropy-stable boundary conditions. The work also includes a generic variational formulation and an implementation of the 13-moment equations, accompanied by various numerical simulations to validate the framework. This approach not only broadens the scope of moment models but also provides a systematic and scalable pathway to higher-order moment equations, enhancing their applicability across a wider range of non-equilibrium gas flow problems. Together, these contributions significantly advance the utility and adaptability of moment equations, bridging the gap between theoretical models and practical, computationally feasible solutions for non-equilibrium gas dynamics.

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