Quiver Grassmannians: Schubert varieties, linear degenerations and tropical geometry

Iezzi, Giulia; Fourier, Ghislain Paul Thomas; Esposito, Francesco; Markwig, Hannah

doi:44688

Quiver Grassmannians: Schubert varieties, linear degenerations and tropical geometry

Iezzi, Giulia^RWTH*

2025

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Giulia Iezzi, M. Sc.

ImpressumAachen : RWTH Aachen University 2025

Umfang1 Online-Ressource : Illustrationen

Dissertation, RWTH Aachen University, 2025. - Dissertation, Universität Tor Vergata, 2025

Cotutelle-Dissertation. - Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Fourier, Ghislain Paul Thomas (Thesis advisor)^RWTH* ; Markwig, Hannah (Thesis advisor) ; Esposito, Francesco (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2025-07-01

Online
DOI: 10.18154/RWTH-2025-08020
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/1018850/files/1018850.pdf

Einrichtungen

Projekte

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Schubert varieties (frei) ; linear degenerations (frei) ; quiver Dressians (frei) ; quiver Grassmannians (frei) ; quivers (frei) ; tropical geometry (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
Köcher und ihre Darstellungen sind ein wichtiges Instrument der Darstellungstheorie: Sie wurden eingeführt, um Probleme der linearen Algebra zu behandeln, bieten aber auch reiche Verbindungen zu anderen mathematischen Bereichen. Ein wesentlicher Vorteil der Verwendung von Köchern für die Untersuchung von Problemen geometrischer Natur ist die Möglichkeit, kombinatorische und algebraische Methoden zu nutzen, um geometrische Eigenschaften der zugehörigen projektiven Varietät, der sogenannten Köcher-Grassmannian, abzuleiten. Der Schwerpunkt der in dieser Arbeit vorgestellten Forschung liegt an der Schnittstelle zwischen Algebra, Geometrie und Darstellungstheorie. Das Ziel dieser Arbeit ist es zunächst, eine Realisierung von Schubert Varietäten als Köcher-Grassmannians zu finden, mittels eines Köchers und einer Köcherdarstellung mit bestimmten sinnvollen Eigenschaften. Anschließend wird diese Realisierung ausgenutzt, um lineare Degenerierungen von Schubert-Varietäten zu definieren. Darüber hinaus verallgemeinern wir die Konstruktion des Fahnen Dressian durch das Konzept des Köcher-Dressian und vergleichen es mit der Tropikalisierung der entsprechenden Köcher-Grassmannian. Kapitel 1 deckt den notwendigen Hintergrund für die Untersuchung von Köchern und Köcherdarstellungen ab, sowohl aus kategorialer als auch aus geometrischer Sicht. In Kapitel 2 betrachten wir einen speziellen Köcher mit Relationen und konstruieren eine starre Darstellung dieses Köchers. Wir untersuchen eine bestimmte Untervarietät der Varietät der Darstellungen, beschreiben die Zerlegungen in Unzerlegbare für die Elemente dieser Untervarietät und parametrisieren die B-Isomorphismenklassen, wobei B die Borel-Untergruppe der oberen Dreiecksmatrizen darstellt. Kapitel 3 fasst grundlegende Fakten und Definitionen über Köcher-Grassmannians, Fahnenvarietäten und ihre Schubert-Varietäten zusammen. Wir beweisen, dass jede Köcher-Grassmannian, die mit der in Kapitel 2 definierten Köcher-Darstellung assoziiert ist, glatt und irreduzibel ist, und ihre Dimension kann leicht mit Hilfe der Euler-Ringel-Form berechnet werden. Kapitel 4 enthält mehrere unserer wichtigsten Ergebnisse. Wir beweisen, dass jede Permutation eine geometrisch kompatible Zerlegung zulässt- wir führen diesen Begriff in Abschnitt 4.1 ein- und realisieren die Bott-Samelson Auflösung einer festen Schubert-Varietät unter Verwendung der zuvor betrachteten Köcherdarstellung und Köcher-Grassmannian. Schließlich geben wir durch die Wahl eines anderen, geeigneten Dimensionsvektors für unseren Köcher einen expliziten Isomorphismus zwischen einer beliebigen glatten Schubert-Varietät und der entsprechenden Köcher-Grassmannian. In Kapitel 5 untersuchen wir lineare Degenerierungen. Der erste Abschnitt fasst kurz lineare Degenerierungen von Fahnenvarietäten zusammen, während wir im zweiten Abschnitt auf den Konstruktionen und Ergebnissen aus den Kapiteln 2, 3 und 4 aufbauen und lineare Degenerierungen von Schubert-Varietäten definieren. Wir zeigen, wie eine der in Abschnitt 2.3 betrachteten Parametrisierungen die Beziehungen zwischen den B-Bahnen (und ihren Abschlüssen) in der in Abschnitt 2.2 definierten Untervarietät beschreibt. Danach führen wir die Bedingungen auf, die notwendig und hinreichend dafür sind, dass ein Tupel von nichtnegativen ganzen Zahlen die Parametrisierung einer Darstellung in dieser Untervarietät ist. Schließlich eröffnen wir die Diskussion über den flachen Locus der Projektion von der universellen linearen Degenerierung auf den betrachteten Darstellungsraum. Wir präsentieren und motivieren eine Vermutung über diesen flachen Locus. Kapitel 6 bildet eine Brücke zwischen der Köcherdarstellungstheorie und der tropischen Geometrie, insbesondere durch die Einführung von Köchern von bewerteten Matroiden und die Untersuchung ihrer tropischen Parameterräume. Wir definieren Köcher-Dressians, welche die Teilraumbeziehung von tropischen linearen Räumen nach tropischer Matrixmultiplikation parametrisieren, und zeigen, dass Tropikalisierungen von Köcher-Grassmannians das realisierbare Analogon parametrisieren. Des Weiteren führen wir affine Morphismen von bewerteten Matroiden ein und zeigen die Kompatibilität mit schwach monomialen Köcherdarstellungen. Schließlich zeigen wir, dass Köcher-Dressians ab der Vektorraumdimension 2 nicht realisierbare Punkte haben können.

Quivers and their representations theory provide powerful tools, in particular for studying representations of finite-dimensional algebras; they were introduced to treat problems of linear algebra, but present rich connections to diverse mathematical subjects. A key advantage of using quivers for studying problems of geometrical nature is the possibility to exploit combinatorial and algebraic tools to deduce geometric properties of the associated projective variety, the quiver Grassmannian. The main focus of the research presented in this thesis lies at the intersection of algebra, geometry and representation theory. The aim of this thesis is, firstly, to find a realisation of Schubert varieties as quiver Grassmannians by means of a quiver and quiver representation with certain reasonable properties. Subsequently, this realisation is exploited to def ine linear degenerations of Schubert varieties. Furthermore, we generalise the construction of the flag Dressian by defining the concept of quiver Dressian and compare it to the tropicalisation of the corresponding quiver Grassmannian. Chapter 1 covers the necessary background for the study of quivers and quiver representations, both from a categorical and a from a geometric point of view. In Chapter 2, we consider a special quiver with relations and construct a rigid representation of this quiver. We study a certain subvariety of the variety of representations, describing the decompositions into indecomposables for the elements of this subvariety and parametrising the B-isomorphism classes, where B represents the Borel subgroup of upper-triangular matrices. Chapter 3 summarises basic facts and definitions about quiver Grassmannians, flag varieties and their Schubert varieties. We prove that any quiver Grassmannian associated to the quiver representation defined in Chapter 2 is smooth and irreducible, and its dimension can be easily computed by means of the Euler-Ringel form. Chapter 4 contains several of our main results. We prove that every permutation admits a geometrically compatible decomposition- we introduce this notion in Section 4.1- and realise the Bott-Samelson resolution of a fixed Schubert variety using the quiver representation and quiver Grassmannian considered previously. Lastly, by choosing a different, appropriate dimension vector for our quiver, we give an explicit isomorphism between any chosen smooth Schubert variety and the corresponding quiver Grassmannian. In Chapter 5, we explore linear degenerations. The first section briefly recalls linear degenerations of flag varieties, while in the second section we build upon the constructions and results obtained in Chapter 2, 3 and 4 and define linear degenerations of Schubert varieties. We show how one of the parametrisations considered in Section 2.3 describes the relations between the B-orbits (and their closures) in the subvariety defined in Section 2.2 and list the conditions that are necessary and sufficient for a tuple of non-negative integers to be the parametrisation of some representation in this subvariety. Finally, we open the discussion on the flat locus of the projection from the universal linear degeneration onto the considered representation space. We present and motivate a conjecture about this flat locus. Chapter 6 is dedicated to a bridge between quiver representation theory and tropical geometry, in particular to the introduction of quivers of valuated matroids and the study of their tropical parameter spaces. We define quiver Dressians, which parametrise containment of tropical linear spaces after tropical matrix multiplication, and show that tropicalisations of quiver Grassmannians parametrise the realisable analogue. We further introduce affine morphisms of valuated matroids and show compatibility with weakly monomial quiver representations. Finally, we show that, starting in ambient dimension 2, quiver Dressians can have nonrealisable points.

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