Invariant zero sets for first and second order nonlinear ODE systems

Harms, Melanie; Zerz, Eva; Walcher, Sebastian

doi:HT031326316

Invariant zero sets for first and second order nonlinear ODE systems = Invariante Nullstellenmengen für nicht lineare ODE Systeme erster und zweiter Ordnung

Harms, Melanie^RWTH*

2025

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Melanie Harms, M. Sc.

ImpressumAachen : RWTH Aachen University 2025

Umfang1 Online-Ressource

Dissertation, RWTH Aachen University, 2025

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Zerz, Eva (Thesis advisor)^RWTH* ; Walcher, Sebastian (Thesis advisor)^RWTH*

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2025-10-30

Online
DOI: 10.18154/RWTH-2025-09487
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/1021128/files/1021128.pdf

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Projekte

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
collision-free systems (frei) ; controlled invariance (frei) ; invariant sets (frei) ; nonlinear ODE systems (frei) ; second order systems (frei) ; symbolic computation (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
Das Studium invarianter Mengen liefert Einblicke in das qualitative Verhalten von gewöhnlichen Differentialgleichungssystemen (ODE-Systeme). Eine Teilmenge $S$ des Zustandsraums wird invariant genannt, wenn jede Trajektorie, die in $S$ beginnt, für alle Zeiten in $S$ bleibt. In dieser Thesis untersuchen wir invariante Nullstellenmengen für ODE-Systeme verschiedener Funktionsklassen. Unser erstes Ziel ist es, bekannte Resultate zu polynomiellen Systemen auf erweiterte Systemklassen zu verallgemeinern. Für solche Klassen, die für symbolisches Rechnen zugänglich sind, stellen wir konstruktive Charakterisierungen und Berechnungsmethoden bereit – basierend auf der Theorie der Gröbner-Basen – um die Invarianz einer gegebenen Nullstellenmenge $S$ zu entscheiden und Erzeuger für den Modul aller Vektorfelder, für die $S$ eine invariante Menge ist, zu finden. Das zweite Ziel besteht darin, diese Konzepte von ODE-Systemen erster Ordnung auf zweite Ordnung zu verallgemeinern. Während der Begriff der invarianten Mengen typischerweise Teilmengen des Zustandsraums adressiert, zielen wir darauf ab, dieses Konzept auch auf Teilmengen des Positions- oder Geschwindigkeitsraums eines ODE-Systems zweiter Ordnung auszudehnen. Wir konzentrieren uns auf Varietäten und geben Bedingungen an, mit denen die Invarianz einer Varietät $V$ für ein System zweiter Ordnung entschieden werden kann. Für Systemklassen, die für symbolisches Rechnen zugänglich sind, können diese Bedingungen wieder in einen algorithmischen Test mittels symbolischen Rechnens umformuliert werden. Im Gegensatz zum Fall erster Ordnung kann die Menge aller polynomiellen Vektoren, die ein System zweiter Ordnung definieren, für das $V$ invariant ist, entweder leer sein oder bildet einen affinen Modul. Spezielle invariante Varietäten, nämlich Arrangements von Unterräumen, spielen eine wichtige Rolle bei dem Studium von Kollisionsfreiheit. Ein ODE-System wird als kollisionsfrei bezeichnet, wenn jede Trajektorie, die in unterschiedlichen Subzuständen beginnt, für alle Zeiten in unterschiedlichen Subzuständen bleibt. Diese strukturelle Eigenschaft ist in vielen gängigen Modellen für Partikelinteraktionen zu finden und entsteht natürlich aus den intrinsischen Symmetrien dieser Modelle. Wir behandeln dieses Konzept für lineare, polynomielle und allgemeine lokal Lipschitz-stetige Systeme. Dabei adressieren wir außerdem den Zusammenhang zwischen Permutationssymmetrie und Kollisionsfreiheit. Aus der Perspektive der Kontrolltheorie strebt man an, die Invarianz gegebener Mengen durch Einführung geeigneter Feedbackgesetze zu erreichen. Eine Menge $S$ wird regelungsinvariant bezüglich eines Kontrollsystems genannt, wenn es ein Zustands- oder Outputfeedbackgesetz gibt, sodass der resultierende geschlossene Regelkreis $S$ als invariante Menge besitzt. Unsere Resultate zu invarianten Mengen für ODE-Systeme dienen als Grundlage für die Analyse regelungsinvarianter Nullstellenmengen für input-affine Kontrollsysteme erster und zweiter Ordnung, deren Funktionsklassen zugänglich für symbolisches Rechnen sind. Wir präsentieren konstruktive Charakterisierungen dieser Mengen sowie Berechnungsmethoden zur Bestimmung aller geeigneten Zustands- oder Outputfeedbacks.

Studying invariant sets provides insights into the qualitative behaviour of ordinary differential equation (ODE) systems. A subset $S$ of the state space is said to be invariant if any trajectory starting in $S$ remains in $S$ for all times. In this thesis, we investigate invariant zero sets for ODE systems across various function classes. Our first objective is to generalise known results on polynomial systems to extended system classes. For those classes accessible to symbolic computation, we provide constructive characterisations and computational methods – based on the theory of Gröbner bases – to determine the invariance of a prescribed zero set $S$ and to find generators for the module of all vector fields that have $S$ as an invariant set. The second objective is to generalise these concepts from first order to second order ODE systems. While the notion of invariant sets typically addresses subsets of the state space, we aim to extend this concept to subsets of the position or velocity space of a second order ODE system. We focus on varieties and provide conditions to decide whether a variety $V$ is invariant for a second order system. Again, considering system classes accessible to symbolic computation, we turn these conditions into an algorithmic test using symbolic computation. In contrast to the first order case, the set of all polynomial vectors defining a second order system which has $V$ as an invariant set can either be empty or forms an affine module. Particular invariant varieties, namely subspace arrangements, play an important role in studying collision-freeness. An ODE system is called collision-free if any trajectory starting in distinct substates remains in distinct substates for all times. This structural property is found in many common models of particle interactions, arising naturally from their intrinsic symmetries. We discuss this concept for linear, polynomially nonlinear, and general locally Lipschitz continuous systems while addressing the connection between permutation symmetry and collision-freeness. From the perspective of control theory, one seeks to achieve invariance of prescribed sets by implementing suitable feedback laws. A set $S$ is said to be controlled invariant with respect to a control system if there exists a state or output feedback law such that the resulting closed loop system has $S$ as an invariant set. Our results on invariant sets for ODE systems serve as a foundation for investigating controlled invariant zero sets for first and second order input-affine control systems across function classes accessible to symbolic computation. We present constructive characterisations of these sets along with computational methods for deriving all suitable state or output feedbacks.

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