guest ::
Heat flow methods and saddle configurations for spherical magnets
2025
Dissertation, RWTH Aachen University, 2025
Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University
Genehmigende Fakultät
Fak01
Hauptberichter/Gutachter
; ;
Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2025-10-28
Online
DOI: 10.18154/RWTH-2025-09948
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/1022320/files/1022320.pdf
Einrichtungen
Projekte
Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
analysis (frei) ; harmonic maps (frei) ; heat flow (frei) ; micromagnetism (frei) ; saddle point analysis (frei) ; skyrmions (frei)
Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510
Kurzfassung
Wir untersuchen wir ein geometrisches Modell eines mikromagnetischen Systems auf einer gekrümmten Oberfläche, das durch Abbildungen zwischen 2-Sphären beschrieben wird. Dieses System wird durch ein Energiefunktional modelliert, das aus Austauschenergie und Easy-Normal-Anisotropie besteht. Kritische Punkte dieser Energie werden als Skyrmionen bezeichnet und existieren aufgrund des stabilisierenden Effekts der Krümmung. Trotz seiner scheinbaren Einfachheit birgt das Modell interessante Eigenschaften. Hauptziel dieser Arbeit ist es, die Existenz von Skyrmionen nachzuweisen, die Sattelpunkte des Energiefunktion als sind. Die Existenz von Minimierern unter zusätzlichen Bedingungen bezüglich Abbildungsgrads und/oder Symmetrien wurde in früheren Arbeiten gezeigt. Da die zugehörige Euler–Lagrange-Gleichung semilinearer Natur ist, ist es schwierig, andere Lösungen als die durch die direkte Methode der Variationsrechnung erhaltenen zu finden. Aus diesem Grund verwenden wir eine Wärmefluss-Methode, bei der wir die elliptische Gleichung in eine parabolische umwandeln. Dies ist angelehnt an die Ergebnisse von Eells und Sampson, die diesen Ansatz im Bereich der Untersuchung harmonischer Abbildungen verwendeten, mit denen unser Problem eng verwandt ist. In einem ersten Ergebnis beweisen wir die Existenz einer schwachen Lösung der Wärmefluss-Gleichung außerhalb endlich vieler Punkte in Raumzeit, an denen die Lösungen singulär werden. Dies ist ein analoges Resultat zu dem von Struwe für den harmonischen Wärmefluss. Der Beweis folgt dem von Struwe eng, da unsere zusätzlichen Terme aus der Anisotropie niedrigerer Ordnung sind. Der Limes für große Zeiten der Lösungen der Wärmefluss-Gleichung ist dann ein kritischer Punkt der Energie. Wir zeigen zweitens, dass für eine spezielle Klasse von achsensymmetrischen Abbildungen kein Blowup auftreten kann, sodass auch im Limes die volle Regularität erhalten bleibt. In einem dritten Schritt beweisen wir, dass die auf diese Weise erhaltenen Skyrmionen Sattelpunkte des Energiefunktio nals für bestimmte Modellparameter sind. Dazu zeigen wir, dass der kritische Punkt weder ein lokaler Minimierer noch Maximierer ist. Der Beweis basiert auf der Beobachtung, dass die Abbildungen zu einer speziellen Klasse von achsensymmetrischen Abbildungen mit einer zusätzlichen Symmetrie gehören, die wir dann durch eine Störung manuell brechen, um eine Abbildung mit niedrigerer Energie zu konstruieren. Abschließend führen wir numerische Simulationen der Wärmefluss-Gleichung im achsensymmetrischen Setting durch, um die Skyrmion-Lösungen zu visualisieren und ihre Eigenschaften besser zu verstehen.We investigate a geometric model of a micromagnetic system on a curved surface described by maps between 2-spheres. This system is modeled by an energy functional that consists of exchange energy and easy-normal anisotropy. Critical points of this energy functional are called skyrmions and exist because of the stabilizing effect of the curvature. Despite its apparent simplicity, this toy model already exhibits interesting features. The main goal of this thesis is to prove the existence of skyrmions that are saddle points of the energy functional. The existence of minimizers with additional conditions on mapping degree and/or symmetries was shown in previous works. Since the corresponding Euler–Lagrange equation is semi linear in nature, it is difficult to find solutions other than the ones obtained through the direct method in the calculus of variations. To overcome this difficulty, we use a heat flow method by transforming the elliptic equation into a parabolic one. This is inspired by the work of Eells and Sampson who used this approach in the study of harmonic maps, to which our problem is closely related. In a first result, we prove the existence of a weak solution to the heat flow equation away from finitely many points in space-time at which the solution blows up. This is a result analogous to that of Struwe for the harmonic map heat flow. Our proof closely follows Struwe’s as the additional terms from the anisotropy are of lower order. The long time limit of solutions to the heat flow equation is a critical points of the energy functional. In a second result, we show that for a special class of axisymmetric maps no blowup can occur, meaning that full regularity is retained in the limit of time going to infinity. Then in a third step, we show that the skyrmion solutions obtained in this way are saddle points of the energy functional in a specific parameter range of the model. This is done by showing that the critical point is neither a local minimizer nor a local maximizer of the energy functional. The proof is based on the observation that these maps possess an additional symmetry, which we then break manually by a small perturbation to construct a map with lower energy. Finally, we carry out numerical simulations of the heat flow equation in the axisymmetric setting to visualize the skyrmion solutions and to obtain a better understanding of their properties.
OpenAccess: 
PDF
(additional files)
Dokumenttyp
Dissertation / PhD Thesis
Format
online
Sprache
English
Externe Identnummern
HBZ: HT031324480
Interne Identnummern
RWTH-2025-09948
Datensatz-ID: 1022320
Beteiligte Länder
Germany
|
The record appears in these collections: |