Low-rank tensor methods for high-dimensional parameter-dependent PDEs: eigenvalue estimation, approximate inverses, and multigrid methods

Werthmann, Tim Andreas; Uschmajew, André; Grasedyck, Lars; Bolten, Matthias

doi:HT031482646

Low-rank tensor methods for high-dimensional parameter-dependent PDEs: eigenvalue estimation, approximate inverses, and multigrid methods

Werthmann, Tim Andreas^RWTH*

2026

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Tim A. Werthmann, M. Sc.

ImpressumAachen : RWTH Aachen University 2026

Umfang1 Online-Ressource : Illustrationen

Dissertation, RWTH Aachen University, 2026

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Grasedyck, Lars (Thesis advisor)^RWTH* ; Bolten, Matthias (Thesis advisor) ; Uschmajew, André (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2026-02-20

Online
DOI: 10.18154/RWTH-2026-02189
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/1029270/files/1029270.pdf

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Projekte

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
CP format (frei) ; Lanczos method (frei) ; exponential sums (frei) ; hierarchical Tucker format (frei) ; matrix exponential (frei) ; multigrid convergence analysis (frei) ; multigrid smoothers (frei) ; operator-dependent grid transfer (frei) ; parametric PDEs (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
Moderne wissenschaftliche Fragestellungen, von der biomedizinischen Bildgebung bis hin zur Materialentwicklung, erfordern häufig die Lösung partieller Differentialgleichungen (PDEs), die von vielen Parametern abhängen. Mit wachsender Anzahl an Parametern wächst die Größe der nach der Diskretisierung entstehenden linearen Gleichungssysteme exponentiell an, sodass klassische numerische Verfahren schnell an ihre Rechen- und Speichergrenzen gelangen. Um diese Herausforderungen zu bewältigen, benötigt man datenarme Darstellungen und Lösungsverfahren, die sowohl effizient sind als auch auf einer soliden theoretischen Grundlage basieren. Iterative Löser in Kombination mit Niedrigrang-Tensorarithmetik stellen einen vielversprechenden Ansatz dar, dieses exponentielle Wachstum zu bewältigen, indem das parameterabhängige Gleichungssystem mithilfe von Niedrigrang-Tensorformaten dargestellt wird und durch Kürzung eine datenarme Struktur beibehalten wird. Dennoch bestehen wesentliche offene Herausforderungen. Präkonditionierer in Niedrigrang-Tensorformaten sind häufig begrenzt, da vorhandene Ansätze die Parameterabhängigkeit oft vernachlässigen oder iterative Lösungen von Hilfssystemen erfordern, deren Komplexität der des Ausgangssystems entspricht. Ebenso ist die Berechnung der extremalen Eigenwerte in Niedrigrang-Tensorformaten, insbesondere wenn nur Operatoranwendungen kombiniert mit Kürzung möglich sind, bislang unzureichend untersucht. Diese Herausforderungen haben die Übertragung von Mehrgitterverfahren auf Niedrigrang-Tensordarstellungen erheblich erschwert, insbesondere da solche Verfahren oft auf approximativen Inversen der parameterabhängigen Diagonalen basieren, deren direkte Berechnung in Niedrigrangformaten nicht trivial ist. Diese Dissertation entwickelt theoretisch fundierte und praktisch effiziente Methoden zur Lösung hochdimensionaler, parameterabhängiger elliptischer PDEs und überwindet dabei die genannten Herausforderungen. Wir leiten die analytische Lösung sowie eine numerische Approximation eines Modellproblems her und beweisen die Existenz einer exakten datenarmen Darstellung in Niedrigrang-Tensorformaten. Wir präsentieren das Low-Rank Tensor Toolkit, ein vielseitiges und leistungsstarkes Softwarepaket, das Niedrigrang-Tensorberechnungen für ein breites Anwendungsspektrum zugänglich macht und in dem alle im Rahmen dieser Dissertation entwickelten Methoden implementiert sind. Zur Berechnung der extremalen Eigenwerte von Niedrigrang-Tensoroperatoren entwickeln wir einen Lanczos-basierten Ansatz. Durch die Verknüpfung der klassischen Rundungsfehleranalyse mit Niedrigrang-Kürzung etablieren wir Prinzipien, wie Kürzung angewendet werden kann, ohne die Genauigkeit der approximierten Eigenwerte zu beeinträchtigen, was sich auch in numerischen Experimenten zeigt. Dies führt zu einem neugestarteten Lanczos-Verfahren für Niedrigrang-Tensoroperatoren, das effizient und zuverlässig die extremalen Eigenwerte allein durch Operatoranwendungen approximieren kann. Wir entwickeln einen neuartigen Ansatz zur Berechnung approximativer Inversen von Niedrigrang-Tensoroperatoren auf Basis von Exponentialsummen mit garantierten Fehlerschranken. Für das CP-Format leiten wir Fehler- und Rangabschätzungen für die Inverse eines parameterabhängigen Diagonaloperators her. Darüber hinaus entwickeln wir Techniken zur effizienten Berechnung von Matrixexponentialen in Niedrigrang-Tensorformaten, wodurch wir die approximative Inverse vom Diagonaloperator auf den vollständigen Operator im hierarchischen Tucker-Format übertragen können, wiederum mit garantierten Fehlerschranken. Numerische Experimente zeigen, dass die konservativen theoretischen Schranken in der Praxis häufig abgeschwächt werden können, was eine effiziente Berechnung approximativer Inversen direkt in Niedrigrangformaten ermöglicht. Diese approximativen Inversen erlauben die Konstruktion parameterabhängiger Mehrgitterkomponenten, darunter eines parameterabhängigen Jacobi-Glätters sowie parameterabhängiger, operatorabhängiger Prolongations- und Restriktionsoperatoren, jeweils mit kontrollierten Approximationsfehlern. Durch die Übertragung klassischer Mehrgitterresultate auf die parameterabhängige Situation zeigen wir, dass die approximierten Glätter die parameterabhängige Glättungseigenschaft erfüllen und die approximierten Prolongations- und Restriktionsoperatoren die parameterabhängige Approximationseigenschaft gewährleisten. Zusätzlich leiten wir explizite Schranken her, die angeben, wie präzise diese Approximationen berechnet werden müssen, um die jeweiligen Eigenschaften sicherzustellen. Darauf basierend wird eine vollständige Konvergenztheorie für das parameterabhängige Mehrgitterverfahren entwickelt, die Niedrigrang-Kürzung und Operatorapproximationen explizit berücksichtigt. Numerische Experimente stützen die theoretischen Ergebnisse.

Modern scientific and engineering challenges, from biomedical imaging to materials design, often require solving partial differential equations (PDEs) that depend on many parameters. As the number of parameters grows, the size of the resulting linear systems after discretization increases exponentially, rendering classical numerical methods computationally infeasible. Addressing this challenge requires data-sparse representations and solvers that are both computationally efficient and supported by rigorous theoretical guarantees. Iterative solvers combined with low-rank tensor arithmetic offer a promising approach to mitigate this growth by representing the parameter-dependent linear system using low-rank tensor formats and applying truncation to maintain a data-sparse structure. However, several open challenges remain. Preconditioning in low-rank tensor formats is often limited, as existing approaches may ignore parameter dependence or require iterative solutions of auxiliary systems of comparable complexity. Similarly, computing extremal eigenvalues in low-rank tensor formats, when only operator applications with truncation are feasible, remains insufficiently explored. These challenges have hindered the extension of multigrid methods to low-rank tensor representations. In particular, such methods rely, e.g., on approximate inverses of the parameter-dependent diagonal, which are nontrivial to compute directly within low-rank formats. This thesis develops theoretically grounded and practically effective methods to solve high-dimensional, parameter-dependent elliptic PDEs, overcoming these limitations. We derive the analytical solution and numerical approximation of a model problem and prove the existence of an exact data-sparse representation using low-rank tensor formats. We present the Low-Rank Tensor Toolkit, a versatile and efficient software package that makes low-rank tensor computations accessible for a broad range of applications. All methods developed in this thesis are implemented within this toolkit. To compute extremal eigenvalues of low-rank tensor operators, we introduce a Lanczos-based approach. By linking classical rounding-error analysis with low-rank truncation, we establish principles for applying truncation without compromising the accuracy of the approximated eigenvalues, as confirmed by numerical experiments. This leads to a restarted Lanczos method for low-rank tensor operators capable of estimating extremal eigenvalues efficiently and reliably using only operator applications. We develop a novel approach to compute approximate inverses of low-rank tensor operators based on exponential sums, with rigorously controlled error bounds. For the CP format, we derive error and rank bounds for computing the inverse of a parameter-dependent diagonal operator. We further develop techniques to efficiently compute matrix exponentials within low-rank tensor formats, allowing us to generalize the approximate inverse from the diagonal to the full operator within the hierarchical Tucker format, again with guaranteed error bounds. Numerical experiments indicate that the conservative theoretical bounds can be relaxed in practice, enabling efficient computation of approximate inverses directly within low-rank tensor formats. These approximate inverses enable the construction of parameter-dependent multigrid components, such as a parameter-dependent Jacobi smoother as well as parameter-dependent operator-dependent prolongation and restriction, all computed with fully controlled approximation errors. By transferring classical matrix multigrid results to the parameter-dependent case, we further prove that the approximated smoothers satisfy the parameter-dependent smoothing property, and the approximated prolongation and restriction operators satisfy the parameter-dependent approximation property. Explicit bounds are derived to determine how accurately these approximations must be computed to guarantee the corresponding property. Based on this, a complete convergence theory for the parameter-dependent multigrid method is established, explicitly accounting for low-rank truncation and operator approximations. Numerical experiments support the theoretical findings.

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