Stochastic and deterministic algorithms for set-based data-driven computational mechanics

Prume, Erik Christian; Reese, Stefanie; Ortiz, Michael

doi:10.18154/RWTH-2026-07782

Stochastic and deterministic algorithms for set-based data-driven computational mechanics

Prume, Erik Christian^RWTH*

2026

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Erik Christian Prume, M. Sc.

ImpressumAachen : RWTH Aachen University 2026

Umfang1 Online-Ressource : Illustrationen

Dissertation, Rheinisch-Westfälische Technische Hochschule Aachen, 2026

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University

Genehmigende Fakultät
Fak03

Hauptberichter/Gutachter
Reese, Stefanie (Thesis advisor)^RWTH* ; Ortiz, Michael (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2026-06-22

Online
DOI: 10.18154/RWTH-2026-07782
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/1040258/files/1040258.pdf

Einrichtungen

Lehrstuhl und Institut für Angewandte Mechanik (311510)

Projekte

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
computational mechanics (frei) ; data-driven computing (frei) ; optimization (frei) ; stochastic algorithms (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 624

Kurzfassung
Datengestützte Methoden haben das Feld der Computational Mechanics in den letzten Jahren grundlegend verändert. Inspiriert von Fortschritten in Data Science und künstlicher Intelligenz über verschiedene Disziplinen hinweg, haben Forscher in der Mechanik die Herangehensweise an bestehende Herausforderungen neu überdacht. In der Festkörpermechanik bleibt die realistische Beschreibung des Materialverhaltens aufgrund der Komplexität natürlicher und technischer Werkstoffe eine zentrale Hürde. Während die Feldtheorien von Gleichgewicht und kinematischer Kompatibilität weitgehend gültig und mathematisch exakt charakterisiert sind, ist die klassische phänomenologische Materialmodellierung eine mühsame Aufgabe verbunden mit vielen Modellierungsunsicherheiten. Modelle müssen auf Basis des aktuellen Wissens spezifisch entworfen, kalibriert und validiert werden – ein Prozess, der sich bei neuen Daten stetig wiederholt und so zu einer Daueraufgabe wird. Viele neuere datengestützte Methoden zielen darauf ab, diesen Prozess durch universelle Funktionsapproximatoren wie künstliche neuronale Netze zu automatisieren. Diese sind hochflexibel und verarbeiten große Datenmengen effizient. Zudem können materialtheoretische Grundprinzipien implementiert werden, um die Funktionen zu regularisieren und den Datenbedarf zu senken. Im Jahr 2016 schlugen Kirchdoerfer und Ortiz [82] einen alternativen Ansatz vor, die hier als Set-basierte datengestützte Methode bezeichnet wird. Statt mit funktionalen Approximationen zu arbeiten, wird das Randwertproblem explizit im Materialdatensatz formuliert. Die Hauptziele sind: 1) Reduktion von Modellierungsunsicherheiten, 2) Erhalt von Informationen bei verrauschten Daten, 3) korrekte Beschreibung von Materialien ohne eindeutige funktionale Beziehung und 4) ein automatisierter Zyklus aus Datenerfassung und Inferenz. Diese kumulative Dissertation trägt zur Set-basierten Methode durch neuartige Algorithmen für verschiedene Forschungsfragen bei. Ein zentrales Thema ist die Identifikation, ob ein stochastischer oder ein deterministischer Algorithmus für ein gegebenes Problem die beste Wahl ist. Die Erkenntnisse sind oft überraschend: So gelingt die globale Optimierung kombinatorisch komplexer Probleme am besten stochastisch, während das Auffinden aller lokalen Minima hochdimensionaler Energielandschaften nur deterministisch handhabbar war. Im ersten Artikel wird ein stochastischer Algorithmus zur Lösung des Set-basierten Minimierungsproblems entwickelt. Eine randomisierte Datensuche hilft dabei, lokalen Minima zu entkommen, die aus der diskreten Natur des Problems resultieren. Dies ermöglicht zudem ein zielorientiertes Datengewinnungsschema für die Multiskalenmechanik, gesteuert durch ein gewichtetes k-means Clustering. Es wurde gezeigt, dass der Fehler durch optimal ausgewählte Daten konsistent sinkt, was teure Mikrostruktursimulationen einspart. Der zweite Artikel führt die Grundlage für eine stochastische Beschreibung ein, indem die gesamte Posterior-Verteilung möglicher Systemausgänge statt einer Einzel-Lösung betrachtet wird. Ein stochastischer Simulated Annealing Algorithmus exploriert die Verteilung mittels Markov-Ketten. Obwohl der Algorithmus multimodale Verteilungen durch das Vorhalten mehrerer Lösungen abbilden kann, ist er auf eher kleine Systeme begrenzt. Diese Limitierung wird im dritten Artikel überwunden. Der vorgeschlagene Algorithmus nutzt eine Basis für den Raum der Gleichgewichtsspannungsfelder, wobei deren Dünnbesetztheit entscheidend für die Effizienz ist. Da bestehende Methoden zur Berechnung solcher Nullbasen oft auf teuren Zerlegungen oder komplexen Graphalgorithmen beruhen, wird hier ein effizienter Algorithmus für den Spezialfall linearer Tetraederelemente vorgestellt. Darauf aufbauend wird ein Deterministic Annealing Algorithmus nach [144] entwickelt. Während die Details der Verteilung aufgelöst werden, erkennt eine partielle Eigenwertzerlegung im Raum der Spannungs- und Verzerrungsfelder lokale Minima und liefert die Richtungen für die Initialisierung von separaten, deterministischen Minimierungen. So entsteht eine hierarchische Lösungsmenge für die Unsicherheitsquantifizierung. Die Methode wird an einem Sprödbruchproblem mit stochastischer Zugfestigkeit demonstriert, wobei jede Lösung ein mögliches Rissmuster darstellt. Da der Datensatz keine eindeutige funktionale Beziehung zulässt, dient dieses Ergebnis als ein besonderes Beispiel für die Set-basierte datengestützte Methode.

Data-driven methods have transformed the field of computational mechanics in recent years. Inspired by remarkable advances in data science and artificial intelligence across various disciplines, researchers in computational mechanics have rethought the way to tackle existing challenges. In the field of solid mechanics, a central challenge is the realistic description of the material behavior due to the enormous complexity and variety of both natural and engineered materials. While the required field theories of equilibrium and kinematic compatibility are widely valid and mathematically very well characterized, the classical method of constitutive, phenomenological material modeling is a laborious task with many modeling uncertainties. The models have to be specifically designed, calibrated, verified and validated based on the current knowledge and data about the material. This process has to be repeated as new information and data are obtained, turning it into an open-ended process. A significant portion of recently developed data-driven methods target the automation of this process by implementing universal function approximators such as artificial neural networks. Such methods are extremely flexible and are designed to handle large amounts of data efficiently. Furthermore, basic principles from materials theory can be implemented in order to regularize the functions and reduce the required amount of data. In 2016, Kirchdoerfer and Ortiz [82] proposed an alternative approach, herein called the \textit{set-based} data-driven method. Instead of working with functional approximations for the material behavior, the boundary value problem is formulated explicitly in the material data set. The principal goals of the method are 1) reduction of modeling uncertainties 2) no loss of information for noisy data 3) correct description of materials where no single-valued functional relationship exists and 4) simple and automated process-cycle of data acquisition and inference. This cumulative dissertation aims to contribute to the set-based data-driven method with a set of novel algorithms addressing several open research questions. A central theme throughout the dissertation is the identification of whether either a stochastic or a deterministic algorithm is the best choice for a given problem. The findings are often surprising; for instance, computing the global minimum of the discrete optimization problem with combinatorial complexity is best achieved using a stochastic algorithm, whereas discovering all local minima from a non-convex energy landscape in high dimensions was only tractable via a deterministic algorithm. In the first article, a stochastic algorithm to compute the global minimum of the set-based minimization problem is developed, introducing a randomized data search which effectively helps to escape local minima emerging from the discrete nature of the problem. This solver further enables a new goal-oriented data acquisition scheme in the context of multiscale mechanics driven by a weighted k-means clustering. It was shown that the error can be consistently reduced by adding a minimal amount of optimally selected data, saving a substantial amount of costly microstructure simulations. The second article introduces the foundation for a stochastic description of the set-based method by considering the whole posterior distribution of possible system outcomes as compared to a single, deterministic solution. A stochastic, simulated annealing algorithm explores the distribution by randomly propagating a Markov Chain. While the algorithm is capable of sampling multi-modal distributions by maintaining a set of solutions, it is limited to rather small system sizes. This limitation is overcome by the third article. The proposed algorithm is based on a basis for the space of equilibrium stress fields, where sparsity of the basis is crucial for numerical efficiency. Existing methods to compute such a sparse null basis for general systems often rely heavily on expensive numerical factorizations or sophisticated graph algorithms, occasionally leading to conditioning problems. To overcome these problems, an efficient algorithm to compute the sparse null basis for the important special case of linear tetrahedral elements is proposed. Equipped with the basis for equilibrium stress fields, a deterministic annealing algorithm based on [144] is developed. While slowly resolving details of the multi-modal distribution, a partial eigenvalue decomposition in the space of equilibrium stress and compatible strain fields detects the formation of local minima and provides the directions where to initialize two separate deterministic minimization runs. By this process, a hierarchical solution set is constructed which provides the full posterior distribution, serving the purpose of uncertainty quantification. The method is demonstrated with a brittle fracture problem featuring a local material with stochastic tensile strength, where every solution represents one possible crack pattern. As the data set cannot be represented by a single-valued functional relationship, this result may be seen as a prime example for the set-based data-driven method.

OpenAccess:
PDF
(additional files)