Stable and convergent discontinuous galerkin methods for hyperbolic and viscous systems of conservation laws

Zakerzadeh, Mohammad; Noelle, Sebastian; May, Georg; Tadmor, Eitan

doi:10.18154/RWTH-2018-222960

Stable and convergent discontinuous galerkin methods for hyperbolic and viscous systems of conservation laws

Zakerzadeh, Mohammad^RWTH*

2017 & 2018

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von M.Sc. Mohammad Zakerzadeh

ImpressumAachen 2017

Umfang1 Online-Ressource (xvii, 151 Seiten) : Diagramme

Dissertation, RWTH Aachen University, 2017

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University 2018

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
May, Georg (Thesis advisor)^RWTH* ; Noelle, Sebastian (Thesis advisor)^RWTH* ; Tadmor, Eitan (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2017-09-20

Online
DOI: 10.18154/RWTH-2018-222960
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/721123/files/721123.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
conservation laws (frei) ; discontinuous galerkin (frei) ; entropy stable (frei) ; shock capturing (frei) ; space-time (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
Trotz des klassischen Wohlstands-Theorems für entropische schwache Lösungen von skalaren Erhaltungssätzen, werfen einige theoretische und numerische Beweise Zweifel hinsichtlich der Angemessenheit dieses Lösungsparadigmas für mehrdimensionale hyperbolische Systeme auf. Es wurde vermutet, dass die allgemeineren Entropiemesswert (EMV)-Lösungen als adäquater Lösungsbegriff betrachtet werden sollten. Aufbauend auf früheren Ergebnissen beweisen wir, dass beschränkte Lösungen einer bestimmten Klasse von diskontinuierliche Raum-Zeit-Galerkin (DG)-Verfahren zu einer EMV-Lösung konvergieren. Die Neuigkeit in unserer Arbeit besteht darin, dass für die Stabilisierung keine Streamline-Begriffe verwendet werden, im Gegensatz zu der Rolle, die solche Stabilisierungen in der bestehenden Analyse von DG-Systemen spielen. Unser Ansatz entspricht der ursprünglich vorgeschlagenen Art von DG-Systemen und wird am häufigsten in der Praxis verwendet. Im Falle von Skalarproblemen wird dieses Ergebnis verstärkt, um die Konvergenz zur schwachen Lösung der Entropie zu erhalten, und zwar über den Beweis der $L_\infty$-Verschmutzung der Lösung sowie ihre Übereinstimmung mit allen Entropie-Ungleichungen. Als Hauptschritt im Beweis der Beschränktheit zeigen wir die Koerzitivkraft des schockfangenden Operators, der neue Argumente aus polynomischen Ungleichungen verwendet. Für viskose Erhaltungsgesetze erweitern, wir unseren Rahmen zu allgemeinen Systemen des Konvektions-Diffusionstyps mit nichtlinearer Konvektion und nichtlinearer Diffusion, sodass die Entropiestabilität des Schemas erhalten bleibt. Ausgehend von einer Mischformulierung behandeln wir die Schwierigkeiten, die sich aus der Nichtlinearität des viskosen Flusses durch eine zusätzliche Projektion ergeben. Wir beweisen die Entropiestabilität der entsprechenden Urform für verschiedene Behandlungen des viskosen Flusses; dadurch werden die vorhandenen Ergebnisse in der Literatur vereinheitlicht und die Entropiestabilität für weniger analysierte Methoden festgelegt. Unsere Analyse gilt auch für den Fall der degenerierten Diffusion. Unter Berücksichtigung quasilinearer elliptischer Probleme in skalaren Einstellungen zeigen wir, dass der vorgeschlagene Ansatz für die viskose Diskretisierung asymptotisch konsistent und adjungiert konsistent ist. Für den speziellen Fall von stark monotonen und global Lipschitz-Problemen beweisen wir die Einzigartigkeit und Stabilität der numerischen Lösung. Für diese Klasse von Bedienern beweisen wir auch die optimale Konvergenz zur exakten Lösung in Bezug auf die Maschenweite, sowohl in der Energie als auch in der $L_2$-Norm. Solche optimalen Konvergenzraten für asymptotisch (adjungierte) konsistente Schemata wurden zuvor in numerischen Experimenten beobachtet.

Despite the classical well-posedness theorem for entropy weak solutions of scalar conservation laws, some theoretical and numerical evidence cast doubt on the appropriateness of this solution paradigm for multidimensional hyperbolic systems. It has been conjectured that the more general entropy measure-valued (EMV) solutions ought to be considered as the adequate notion of the solution. Building on previous results, we prove that bounded solutions of a certain class of space-time discontinuous Galerkin (DG) schemes converge to an EMV solution. The novelty in our work is that no streamline-diffusion terms are used for stabilization, in contrary to the main role of such stabilizations in the existing analysis of DG schemes. Our approach conforms to the way DG schemes were originally proposed, and are most often used in practiceIn the case of scalar problems, this result is strengthened to obtain the convergence to the entropy weak solution, via the proof of $L_\infty$-boundedness of the solution as well as its consistency with all entropy inequalities. As a main step in the boundedness proof, we show the coercivity of the shock-capturing operator employing new arguments from polynomial inequalities. For viscous conservation laws, we extend our framework to general convection-diffusion systems, with both nonlinear convection and nonlinear diffusion, such that the entropy stability of the scheme is preserved. Starting from a mixed formulation, we handle the difficulties arising from the nonlinearity of the viscous flux by an additional projection. We prove the entropy stability of the corresponding primal form for different treatments of the viscous flux; thus unifying the existing results in the literature as well as establishing the entropy stability for less-analyzed methods. Our analysis is also valid for the case of degenerate diffusion. Considering quasilinear elliptic problems in scalar settings, we prove that the proposed approach for viscous discretization is asymptotically consistent and adjoint consistent. For the special case of strongly monotone and globally Lipschitz problems, we prove the uniqueness and stability of the numerical solution. For this class of operators, we also provethe optimal convergence to the exact solution with respect to mesh size, in both energy and $L_2$ norms. Such optimal convergence rates for asymptotically (adjoint) consistent schemes have been observed before in numerical experiments.

OpenAccess:
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