Parabolic induction for Hecke algebras

Schönnenbeck, Christoph; Hiß, Gerhard; Fourier, Ghislain Paul Thomas; Geck, Meinolf

doi:38436

Parabolic induction for Hecke algebras = Parabolische Induktion für Heckealgebren

Schönnenbeck, Christoph^RWTH*

2019

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Christoph Schönnenbeck, M.Sc.

ImpressumAachen 2019

Umfang1 Online-Ressource (198 Seiten)

Dissertation, RWTH Aachen University, 2019

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Hiß, Gerhard (Thesis advisor)^RWTH* ; Geck, Meinolf (Thesis advisor) ; Fourier, Ghislain Paul Thomas (Thesis advisor)^RWTH*

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2019-07-22

Online
DOI: 10.18154/RWTH-2019-06982
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/764735/files/764735.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Coxeter groups (frei) ; Hecke algebras (frei) ; decomposition numbers (frei) ; parabolic induction (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
Ist W_0 eine Untergruppe einer endlichen Gruppe W, so ist die Induktion von Darstellungen von W_0 zu solchen von W eines der fundamentalen Konzepte der Darstellungstheorie. In dem Fall, dass W eine Coxetergruppe ist, ist man insbesondere an sogenannten parabolischen Untergruppen von W interessiert. Diese sind selbst wiederum Coxetergruppen und die zugehörige Induktion wird dann als parabolische Induktion bezeichnet. In dieser Arbeit betrachten wir Verallgemeinerungen dieser Konstruktion. Wir untersuchen die Struktur parabolisch induzierter Moduln von endlichen Spiegelungsgruppen und ihrer Heckealgebren, genauer von Coxetergruppen, komplexen Spiegelungsgruppen, Iwahori-Hecke-Algebren und zyklotomischen Heckealgebren. Zu Beginn der Arbeit wiederholen wir allgemeine Konzepte und Ergebnisse der Darstellungstheorie von Algebren und stellen die Gruppen und Algebren vor, mit denen wir uns im weiteren Verlauf auseinandersetzen werden. Anschließend zeigen wir für nahezu alle Klassen dieser Spiegelungsgruppen und Heckealgebren, dass ihre parabolische Induktion von echten parabolischen Untergruppen bzw. -algebren stets reduzible Moduln liefert. Im Folgenden betrachten wir parabolische Induktion von Ariki-Koike-Algebren, einer Unterklasse der zyklotomischen Heckealgebren. Aufgrund eines als Kategorifizierung bekannten Phänomens können wir in diesem Kontext unter bestimmten Voraussetzungen auf kombinatorische Argumente in Form sogenannter Crystal Graphs zurückgreifen. Wir erklären die Kombinatorik von Multipartitionen und der Crystal Graphs und nutzen dies, um eine untere Schrank für die Anzahl der irreduziblen Konstituenten parabolisch induzierter Moduln von Ariki-Koike-Algebren zu beweisen. Ebenso geben wir eine analoge Schranke in den Fällen, in denen keine Kategorifizierungsresultate vorliegen. Wir nutzen diese Ergebnisse, um parabolische Induktion von rationalen zyklotomischen Cherednikalgebren zu untersuchen, welche eng mit Ariki-Koike-Algebren verwandt sind. Im zweiten Teil der Arbeit untersuchen wir den Zusammenhang zwischen Induktion und Spezialisierung, d.h. der Veränderung des zugrundeliegenden Rings einer Algebra, zunächst im Allgemeinen, und dann im Kontext parabolischer Induktion von Heckealgebren. Wir zeigen, wie man diesen Zusammenhang nutzen kann, um z.B. die Komponenten parabolisch induzierter Moduln von Iwahori-Hecke-Algebren mit Mitteln der gewöhnlichen Darstellungstheorie von Gruppen und sogenannten Zerlegungs-zahlen berechnen kann. Außerdem untersuchen wir, wie man parabolische Induktion mit Hilfe von Spezialisierung und Cliffordtheorie untersuchen kann. Im letzten Teil der Arbeit beschreiben wir schließlich unsere Berechnung von Zerlegungszahlen von exzeptionellen Iwahori-Hecke-Algebren in sogenannter schlechter Charakteristik.

The induction of representations of a subgroup W_0 to an overgroup W is one of the fundamental concepts in representation theory. If W is a Coxeter group, then one is particularly interested in the case where W_0 is a so-called parabolic subgroup of W, which implies that W_0 , too, is a Coxeter group. The corresponding induction is called parabolic induction. In this thesis we consider generalisations of this setup. We study the structure of parabolically induced modules of finite reflection groups and their Hecke algebras, more precisely of Coxeter groups, complex reflection groups, Iwahori-Hecke algebras, and cyclotomic Hecke algebras. We begin by recalling general concepts and results on the representation theory of algebras before introducing the various groups and algebras on which we work throughout. Then we show for almost all classes of reflection groups and Hecke algebras considered in this thesis that parabolic induction from proper parabolic subgroups or subalgebras always yields reducible modules, i.e. no irreducible modules are obtained from parabolic induction. Next we turn to parabolic induction of Ariki-Koike algebras, a subclass of cyclotomic Hecke algebras. Here, so-called categorification results enable us under certain circumstances to make use of combinatorial arguments in terms of directed graphs known as crystal graphs. We explain the necessary combinatorics of multipartitions and crystals graphs and use this to prove a lower bound on the number of irreducible constituents of parabolically induced modules of Ariki-Koike algebras. Moreover, we give an analogous bound in the cases where the combinatorial arguments are not applicable. We apply our results on Ariki-Koike algebras to also study parabolic induction for the closely related cyclotomic rational Cherednik algebras. In the second half of this thesis we investigate the connection between induction and specialisation, i.e. a change of the base ring of an algebra. We do this first in a general setting and then more specifically in the context of parabolic induction for Hecke algebras. In particular, we show how the connection between parabolic induction and specialisation allows us to apply results from the ordinary representation theory of groups and so-called decomposition numbers to compute the irreducible constituents of parabolically induced modules of Iwahori-Hecke algebras. Moreover, we explain how in some cases parabolic induction can be studied with the help of specialisation and Clifford theory. Finally, we give a description of the computational methods we used to obtain the decomposition numbers of exceptional Iwahori-Hecke algebras in so-called bad characteristic.

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