Constructive aspects of wreath products and quasiprimitive permutation groups

Bernhardt, Dominik Hans; Niemeyer, Alice Catherine; Horn, Max

doi:10.18154/RWTH-2022-07369

Constructive aspects of wreath products and quasiprimitive permutation groups = Konstruktive Aspekte von Kranzprodukten und quasiprimitiven Permutationsgruppen

Bernhardt, Dominik Hans

2022

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Dominik Hans Bernhardt, M.Sc.

ImpressumAachen : RWTH Aachen University 2022

Umfang1 Online-Ressource : Illustrationen

Dissertation, RWTH Aachen University, 2022

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Niemeyer, Alice Catherine (Thesis advisor)^RWTH* ; Horn, Max (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2022-06-15

Online
DOI: 10.18154/RWTH-2022-07369
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/850253/files/850253.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Gruppentheorie (frei) ; Kranzprodukte (frei) ; Permutationsgruppen (frei) ; algorithmische Algebra (frei) ; computational algebra (frei) ; group theory (frei) ; permutation groups (frei) ; quasiprimitive Permutationsgruppe (frei) ; quasiprimitive permutation group (frei) ; wreath products (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
1993 führte Praeger quasiprimitive Permutationsgruppen ein. Eine endliche Gruppe, die auf eine endliche Menge operiert heißt quasiprimitiv, wenn jede nichttriviale normale Untergruppe transitiv operiert. In einem Theorem ähnlich zu dem berühmten O'Nan-Scott-Theorem für primitive Gruppen klassifizierte Praeger quasiprimitive Gruppen, indem sie diese in mehrere sich gegenseitig ausschließende Klassen unterteilte. Quasiprimitive Permutationsgruppen spielen sowohl in der Theorie der Permutationsgruppen als auch bei der Untersuchung der Symmetriegruppen von Inzidenzstrukturen eine wichtige Rolle. Im Gegensatz zu beliebigen transitiven oder primitiven Permutationsgruppen gibt es jedoch keine vollständige Datenbank für quasiprimitive Gruppen bis zu einem bestimmten Grad. Ein Hauptergebnis dieser Arbeit ist die Konstruktion einer Datenbank aller quasiprimitiven, aber imprimitiven Permutationsgruppen - genannt quimp-Gruppen - mit einem Grad von höchstens 4095. Zusammen mit der Datenbank der primitiven Gruppen vom Grad höchstens 4095, die mit Beiträgen vieler Autoren erstellt wurde, ist nun eine Datenbank aller quasiprimitiven Permutationsgruppen vom Grad höchstens 4095 verfügbar. Praeger und Baddeley haben die ursprüngliche Klassifizierung verfeinert und die quasiprimitiven Gruppen in acht sich gegenseitig ausschließende Klassen unterteilt. Um alle quasiprimitiven Gruppen mit einem Grad von höchstens 4095 zu konstruieren, stellen wir zunächst fest, dass drei der acht Typen quasiprimitiver Gruppen, nämlich Gruppen vom HA-, HS- und HC-Typ, immer primitiv sind und dass der minimale Permutationsgrad einer quimp-Gruppe vom SD- oder CD-Typ unsere Gradgrenze überschreitet. Für die verbleibenden drei Typen quasiprimitiver Gruppen, AS-Typ, PA-Typ und TW-Typ, stellen wir die Strukturtheorie und Algorithmen vor, um solche Gruppen mit einem bestimmten Grad zu konstruieren. Unsere Ergebnisse sind im GAP-Paket QuimpGrp verfügbar, das parallel zu dieser Arbeit entwickelt wurde. Viele (quasi-)primitive Gruppen entstehen als Untergruppen von Kranzprodukten. Das zweite Hauptergebnis dieser Arbeit ist eine konstruktive Beschreibung der Konjugiertenklassen und Zentralisatoren sowie die Lösung des Konjugiertenproblems für Kranzprodukte, bei denen die Basisgruppe eine beliebige Gruppe ist und die Topgruppe treu auf einer endlichen Menge operiert. Unser Ansatz ist inspiriert von Ideen, die ursprünglich von Ore, Specht, James und Kerber entwickelt wurden. Unsere Theorie ist so formuliert, dass sie sich direkt implementieren lässt. Unsere Ergebnisse sind in einem GAP-Paket von Rober implementiert.

In 1993, Praeger introduced quasiprimitive permutation groups. A finite group acting on a finite set is said to act quasiprimitively if every non-trivial normal subgroup acts transitively. In a theorem similar to the famous O’Nan-Scott-theorem for primitive groups, Praeger classified quasiprimitive groups by dividing them into several mutually exclusive classes. Quasiprimitive permutation groups feature prominently in both the theory of permutation groups and in the study of symmetry groups of incidence structures. Yet, in contrast to arbitrary transitive or primitive permutation groups, no complete database of quasiprimitive groups up to a certain degree is available. A main result of this thesis is the construction of a database of all quasiprimitive but imprimitive permutation groups - called quimp groups - of degree at most 4095. Together with the database of primitive groups of degree at most 4095 constructed with contributions by many authors, a database of all quasiprimitive permutation groups of degree at most 4095 is now available. Praeger and Baddeley refined the original classification and divided quasiprimitive groups into eight mutually exclusive classes. To construct all quimp groups of degree at most 4095, we first observe that three of the eight types of quasiprimitive groups, namely groups of HA-, HS- and HC-type, are always primitive and that the minimal permutation degree of a quimp group of SD- or CD-type exceeds our degree bound. For the remaining three types of quasiprimitive groups, AS-type, PA-type and TW-type, we present structure theory and algorithms to construct such groups of a given degree. Our results are available in the GAP-package QuimpGrp which accompanies this thesis. Many (quasi-)primitive groups arise as subgroups of wreath products. The second main result of this thesis is a constructive description of the conjugacy classes and centralisers and the solution to the conjugacy problem for wreath products where the base group is any group and the top group acts faithfully on a finite set. Our approach is inspired by ideas originally developed by Ore, Specht, James and Kerber and our theory is presented in a way that is close to the implementation. Our results are implemented in a GAP-package by Rober.

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