Optimal approximation spaces for discontinuous Petrov-Galerkin schemes with optimal test functions

Chakraborty, Ankit; Behr, Marek; May, Georg

doi:10.18154/RWTH-2022-08228

Optimal approximation spaces for discontinuous Petrov-Galerkin schemes with optimal test functions = Optimale Approximationsräume für diskontinuierliche Petrov-Galerkin Verfahren mit optimalen Testfunktionen

Chakraborty, Ankit^RWTH*

2022

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Ankit Chakraborty

ImpressumAachen : RWTH Aachen University 2022

Umfang1 Online-Ressource : Illustrationen

Dissertation, Rheinisch-Westfälische Technische Hochschule Aachen, 2022

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University

Genehmigende Fakultät
Fak04

Hauptberichter/Gutachter
May, Georg (Thesis advisor)^RWTH* ; Behr, Marek (Thesis advisor)^RWTH*

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2022-08-11

Online
DOI: 10.18154/RWTH-2022-08228
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/852630/files/852630.pdf

Einrichtungen

Projekte

GRK 2379 - GRK 2379: Moderne Inverse Probleme: Von Geometrie über Daten hin zu Modellen und Anwendungen (333849990) (333849990)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 620

Kurzfassung
Bestimmte Petrov-Galerkin-Methoden liefern inhärent stabile Formulierungen von Variationsproblemen für ein gegebenes Gitter, indem sie geeignete Paare von Versuchs- und Testräumen auswählen. Darüber hinaus eignen sich diese Verfahren aufgrund ihrer inhärenten Fähigkeit, robuste a posteriori-Fehlerschätzungen zu liefern, besonders zur Gitteranpassung. Diese numerischen Methoden sind auch als Petrov-Galerkin-Methoden (PG-Methoden) mit optimalem Testfunktionsrahmen bekannt. Es existieren bereits metrisch basierte kontinuierliche Gittermodelle mit dem Ziel, (nahezu) optimale anisotrope Gitter im Hinblick auf Interpolationsfehlermodelle zu erstellen, die mit stückweisen polynomialen Approximationsräumen verbunden sind. Diese sind mit jedem numerischen Verfahren, das solche Räume verwendet, kompatibel. Das primäre Ziel dieser Dissertation ist es, die richtigen Fehlermodelle für kontinuierliche Gitter für die optimale Petrov-Galerkin-Methode zu formulieren und so die Fähigkeit, nahezu optimale anisotrope Gitter zu erzeugen, mit einem numerischen Verfahren zu verbinden, das seinerseits optimale Stabilitäts- und Approximationseigenschaften auf diesen Gittern erzeugt. Die Verwendung diskontinuierlicher Test- und Lösungsräume mit optimalen Test-funktionen führt zu den bekannten diskontinuierlichen Petrov-Galerkin (DPG)-Verfahren mit optimalen Testfunktionen. In dieser Dissertation wird eine anisotrope metrikbasierte Gitteranpassungsstrategie vorgestellt, die den eingebauten a-posteriori-Fehlerschätzer der DPG-Methode nutzt. Auf diese Weise werden DPG-Methoden mit metrikbasierter Gitter-Adaptierung gekoppelt, um (nahezu) optimale Approximationsräume zu erzeugen. Die Verwendung von Modellen mit kontinuierlichen Gittern bietet die Flexibilität, die Rechenkosten in Bezug auf die Freiheitsgrade zu kontrollieren. Außerdem wird in dieser Dissertation eine hp−Anpassungstechnik auf der Grundlage eines kontinuierlichen Gittermodells vorgeschlagen. Bei einer Vielzahl technischer Anwendungen sind die Lösungsvariablen nicht von vorrangigem Interesse. In diesen Fällen sind zielfunktionale, die von den Lösungsvariablen abhängen, von viel größerer Bedeutung. Einige Beispiele für solche zielfunktionale sind der Luftwiderstand oder ein Fluss über eine Grenze des Rechengebiets. Dies macht eine zielgerichtete Anpassung für die Erzeugung optimaler Gitter erforderlich. Daher wurden die vorgeschlagenen Anpassungsstrategien in dieser Dissertation erweitert, um zielgerichtete Gitteranpassungen durchzuführen. Die zielorientierte Anpassungsstrategie verwendet einen Fehlerschätzer der DPG-Star-Methode. Die Konstruktion nahezu optimaler Gitter wird anhand von Problemen mit Grenzschichten und Singularitäten für lösungsgesteuerte und zielorientierte Verfeinerungen demonstriert.

Certain Petrov-Galerkin methods deliver inherently stable formulations of variational problems for a given mesh by selecting appropriate pairs of trial and test spaces. Furthermore, these schemes are especially suited for adaptation due to their inherent ability to yield robust a posteriori error estimates. These numerical methods are also known as Petrov-Galerkin schemes (PG schemes) with optimal test functions. On the other hand, metric-based continuous mesh models have previously been formulated with the aim to build (near) optimal anisotropic meshes with respect to interpolation error models associated with piecewise polynomial approximation spaces. These are compatible with any numerical scheme using such spaces. The primary goal of this dissertation is to formulate the correct continuous-mesh error models for the optimal Petrov-Galerkin methodology, thus pairing the ability to produce near-optimal anisotropic meshes with a numerical scheme which in turn produces optimal stability and approximation properties on these meshes. Employing discontinuous test and trial spaces with optimal test function framework leads to the well-known discontinuous Petrov-Galerkin (DPG) schemes with optimal test functions. This dissertation presents an anisotropic metric-based mesh adaptation strategy utilizing the inbuilt a posteriori error estimator of the DPG schemes. Thus, we end up coupling DPG schemes with metric-based adaptations to generate (near) optimal approximation spaces. Moreover, employing continuous mesh models provides the flexibility of controlling the computational cost in terms of the degrees of freedom. Furthermore, an hp−adaptation technique based on a continuous mesh model has been proposed in this dissertation. Solution variables do not hold one’s prime interest in many engineering applications. In such cases, certain output functionals that depend upon the solution variables are of much more importance. Examples of such output functionals are aerodynamic drag and flux across a boundary. Hence, making goal-oriented adaptation indispensable for generating optimal meshes for such problems. Thus, the proposed adaptation strategies have been extended to perform goal-oriented mesh adaptations. The goal-oriented adaptation strategy utilizes an error estimator from the DPG-star method. Finally, the construction of near-optimal meshes is demonstrated using problems containing boundary layers and singularities for solution-driven refinements and goal-oriented refinements.

OpenAccess:
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