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Evaluation of the bilinear collision operator of the Boltzmann equation with the irreducible Burnett Ansatz = Evaluation des Bilinearen Kollisionsoperators der Boltzmanngleichung mit dem Irreduziblen Burnett Ansatz
2023
Dissertation, RWTH Aachen University, 2023
Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University
Genehmigende Fakultät
Fak01
Hauptberichter/Gutachter
; ;
Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2023-01-25
Online
DOI: 10.18154/RWTH-2023-05968
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/959969/files/959969.pdf
Einrichtungen
Projekte
Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
efficient implementation (frei) ; gas dynamics (frei) ; irreducible representations (frei) ; representation theory (frei) ; spherical harmonics (frei) ; tensors (frei)
Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510
Kurzfassung
Die numerische Lösung der Boltzmanngleichung ist Gegenstand aktueller Forschung. Es gibt bereits Ergebnisse basierend auf dem spektralen Fourier Ansatz von Pareschi & Russo (2000) und Gamba & Tharkabhushanam (2009), basierend auf dem spektralen Hermit-Ansatz eingeführt von Grad (1949), sowie von Cai, Torrilhon (2015), welche den Kollisionsoperator linearisieren. Wang & Cai konnten vor kurzem (2019) den bilinearen Kollisionsoperator basierend auf dem spektralen Hermit-Ansatz berechnen. Allerdings ist diese Methode rechenintensiv. Mit dem Ziel, den Rechenaufwand zu verringern, haben Cai & Fan & Wang (2020) einen effizienteren Algorithmus basierend auf dem spektralen Burnett-Ansatz entwickelt und implementiert. Dieser neue Ansatz wurde bereits analytisch (Kumar 1966) und numerisch (Gamba 2018) untersucht. Inspiriert durch Struchtrups (2005) Tensoransatz für den Kollisionsoperator in Gleichung 6.35 aus "Macroscopic Transport Equations for Rarefied Gas Flows: Approximation Methods in Kinetic Theory" haben wir eine andere Herangehensweise zur Berechnung der spektralen Burnett-Näherung von Boltzmanns Kollisionsoperator gewählt. Der Hauptunterschied liegt in der Ausnutzung von Merkmalen der Basis, die an die irreduziblen Unterräume bezogen auf die orthogonale Gruppe des Polynomraums angepasst ist, da die Basis aus reellen Kugelflächenfunktionen multipliziert mit Laguerre-Polynomen besteht. Während in dieser Arbeit auch die vorwiegend analytische Berechnung von Kollisionskoeffizienten für eine Vielzahl von Potentialen dargestellt wird, liegt der Schwerpunkt auf dem mit Hilfe von Darstellungstheorie entwickelten Verständnis dieser Koeffizienten. Dieses Verständnis dient als Inspiration für einen Algorithmus, der als c++ Code implementiert wurde, um die numerische Lösung der ortsraumhomogenen Boltzmanngleichung für jede Verteilung zu berechnen. Durch die Nutzung der Eigenschaften der irreduziblen Unterräume können wir im Vergleich zu den vorherigen Arbeiten den Speicher- und Rechenzeitaufwand für die Berechnung der numerischen Lösung deutlich reduzieren. Dies können wir aufgrund der Eindeutigkeit linearer Abbildungen bis auf Konstante zwischen den irreduziblen Unterräumen erreichen. Die Darstellungstheorie ermöglicht es uns, den Kollisionstensor in zwei Teile zu zerlegen und alle solche bilinearen Abbildungen zu identifizieren, welche aufgrund der mathematischen Eigenschaften der betreffenden irreduziblen Unterräume Nullabbildungen sind.Solving the Boltzmann equation numerically is an area of ongoing research. There are already existing results based on the Spectral-Fourier Approach by Pareschi & Russo (2000) and Gamba & Tharkabhushanam (2009), and based on the spectral Hermite ansatz introduced by Grad (1949) and linearizing the collision operator by Cai, Torrilhon (2015).Wang and Cai were recently (2019) able to calculate the bilinear collision operator based on the spectral Hermite ansatz. However, their method is computationally expensive. In response, Cai & Fan & Wang (2020) developed and implemented a more efficient algorithm based on the spectral Burnett ansatz. This ansatz has also been looked into analytically (Kumar 1966) and numerically (Gamba 2018). Inspired by Struchtrup's (2005) tensorial approach to the collision operator in Equation 6.35 in "Macroscopic Transport Equations for Rarefied Gas Flows: Approximation Methods in Kinetic Theory", we chose a different approach for calculating the Spectral-Burnett approximation of the Boltzmann collision operator. The main difference lies in the exploitation of features of the basis set, which is adapted to the irreducible subspaces with respect to the orthogonal group of the polynomial space, as it consists of real solid spherical harmonics multiplied with Laguerre polynomials. While this thesis discusses the mostly analytical calculation of collision coefficients for a variety of potentials, the focus is on the understanding of these coefficients provided by representation theory. This understanding is used as inspiration for an algorithm, which has been implemented as c++ code to calculate the numerical solution to the space-homogeneous Boltzmann equation for any distribution. Utilizing the properties of the irreducible subspaces, compared to the previous works we are able to significantly reduce the memory and computation time required for calculating the numerical solution. We could achieve this due to the uniqueness up to a constant of linear maps between the irreducible subspaces. Representation theory allowed us to decompose the collision tensor into two and identify all bilinear maps, that evaluate to zero due to the mathematical properties of the irreducible subspaces in question.
OpenAccess: 
PDF
(additional files)
Dokumenttyp
Dissertation / PhD Thesis
Format
online
Sprache
English
Externe Identnummern
HBZ: HT030058514
Interne Identnummern
RWTH-2023-05968
Datensatz-ID: 959969
Beteiligte Länder
Germany
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