A New Approach to Hybrid Censoring

Górny, Julian; Cramer, Erhard; Balakrishnan, Narayanaswamy; Burkschat, Marco

doi:36208

A New Approach to Hybrid Censoring = Ein neuer Zugang zur Hybridzensierung

Górny, Julian^RWTH*

2017

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Julian Górny, M.Sc.

ImpressumAachen 2017

Umfang1 Online-Ressource (vi, 230 Seiten) : Illustrationen, Diagramme

Dissertation, RWTH Aachen University, 2017

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Cramer, Erhard (Thesis advisor)^RWTH* ; Burkschat, Marco (Thesis advisor)^RWTH* ; Balakrishnan, Narayanaswamy (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2017-04-25

Online
DOI: 10.18154/RWTH-2017-05192
URL: http://publications.rwth-aachen.de/record/690564/files/690564.pdf
URL: http://publications.rwth-aachen.de/record/690564/files/690564.pdf?subformat=pdfa

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
B-splines (frei) ; exponential distribution (frei) ; hybrid censoring (frei) ; models of ordered random variables (frei) ; progressive censoring (frei) ; uniform distribution (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
Zensierungsverfahren, deren Stoppzeiten als Kombination von Typ-I Zensierung sowie von Typ-II Zensierung aufgefasst werden können, werden als hybride Zensierungsverfahren bezeichnet. Das erste hybride Zensierungsverfahren wurde für exponentialverteilte Lebensdauern von Epstein (1954) vorgestellt.Diese Dissertation präsentiert im Wesentlichen einen neuen Ansatz zum Umgang mit hybriden Zensierungsmodellen sowie Techniken zur Herleitung der Verteilungen der Maximum-Likelihood-Schätzer (MLEs) unter Annahme der Exponential- sowie der Gleichverteilung.In Kapitel 1 werden zunächst einige Resultate bezüglich drei wesentlicher hybrider Zensierungsverfahren betrachtet. Zudem wird der neue Zugang zu hybriden Zensierungsverfahren detailliert vorgestellt. Anschließend werden in Kapitel 2 notwendige verteilungstheoretische Resultate bezüglich der hier verwendeten Modelle von geordneten Zufallsvariablen wiederholt. Kapitel 3 führt in das Gebiet der B-Splines ein. Hier wird neben den notwendigen Grundlagen zu dividierten Differenzen und B-Splines eine neue geometrische Charakterisierung des univariaten B-Splines hergeleitet. Des Weiteren werden bestimmte Formeln zur Berechnung von Integralen bzgl. B-Spline verwandter Ausdrücke hergeleitet.Die nachfolgenden Kapitel 4 bis 8 beschäftigen sich mit der Analyse verschiedener hybrider Zensierungsmodelle. In Kapitel 4 wird das Typ-I sequentiell hybride Zensierungsmodell vorgestellt. Unter verschiedenen Annahmen der zugrundeliegenden Modellparameter, werden für die zweiparametrige Exponential- sowie für die zweiparametrige Gleichverteilung grundlegende verteilungstheoretische Resultate sowie die Verteilungen der entsprechenden MLEs hergeleitet. Die resultierenden Darstellungen enthalten in den meisten Fällen B-Spline-Funktionen. Für eine zugrundeliegende Exponentialverteilung wird weiter eine Identität vorgestellt, die den Transfer von B-Spline basierten Darstellungen zu Darstellungen in Form von Gamma Dichtefunktionen ermöglicht. In Kapitel 5 wird mit der mehrstichproben Typ-I sequentiell Hybridzensierung ein hybrides Zensierungsmodell basierend auf mehreren unabhängig beobachteten Stichproben eingeführt. Anschließend wird in Kapitel 6 die Typ-II progressiv Hybridzensierung und in Kapitel 7 die verallgemeinerte Typ-I und Typ-II progressiv Hybridzensierung untersucht. In Kapitel 8 wird die verallgemeinert kombinierte progressiv Hybridzensierung betrachtet. Neben der Vorstellung des Zensierungsmechanismus, wird insbesondere auf die Vereinfachung der komplexen Struktur des zugrundeliegenden Zensierungsmodells eingegangen.Die Dissertation endet mit einem Fazit sowie einem Ausblick (siehe Kapitel 9).Des Weiteren verfügt diese Ausarbeitung über einen Anhang in dem vier weitere hybride Zensierungsmodelle behandelt werden. Zudem werden alle hierin betrachteten hybriden Zensierungsmodelle anhand einer kleinen Simulationsstudie illustriert. Der letzte Teil des Anhangs beinhaltet die Beweise einiger der hier verwendeten Resultate.

A hybrid censoring model can be described as a censoring procedure whose stopping time is specified by a combination of Type-I censoring and Type-II censoring. The first hybrid censoring model was presented by Epstein (1954) for exponentially distributed lifetimes.This thesis presents basically a new way of approaching hybrid censoring models as well as particular techniques for obtaining the exact distribution of the maximum likelihood estimators (MLEs) for an exponential and for a uniform assumption.In Chapter 1, we present some results for three particular hybrid censoring schemes. Then, the new approach of analyzing hybrid censoring models is described in detail. Following that, we recall in Chapter 2 some basic distributional results for the herein used models of ordered random variables. Chapter 3 gives an introduction into the field of B-splines. After presenting some fundamental properties for divided differences as well as for the B-spline, we derive a new geometric characterization of the univariate B-spline. Further, we derive formulas for particular integrals of B-spline related expressions.Chapters 4 to 8 address several hybrid censoring schemes. First, we consider the Type-I sequential hybrid censoring model (see Chapter 4). There, for different assumptions for the underlying model parameters, basic distributional results as well as the distribution of the MLEs with respect to the two-parameter exponential and the two-parameter uniform distribution are derived. The resulting representations consist in the most cases of B-spline functions. For an exponential assumption an identity is presented, which allows the transition of B-spline based representations to representations consisting of gamma density functions. In Chapter 5, we introduce with the multi-sample Type-I sequential hybrid censoring scheme a hybrid censoring model based on several independently observed samples. Following that, we discuss in Chapters 6 and 7 the Type-II progressive hybrid censoring model and the generalized Type-I and Type-II hybrid censoring schemes, respectively. In Chapter 8, we address the general unified progressive hybrid censoring model. After discussing the respective censoring procedure, we focus in particular on the simplification process of the underlying censoring model.Chapter 9 provides a conclusion as well as an outlook.The appendix consists of elaborations on four additional hybrid censoring models. Further, a brief simulation study, involving all the herein addressed hybrid censoring models, is conducted. The last part of the appendix considers elementary proofs.

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