Homological quantum codes beyond the toric code

Breuckmann, Nikolas P.; Bluhm, Jörg; Terhal, Barbara Maria; Campbell, Earl

doi:10.18154/RWTH-2018-01100

Homological quantum codes beyond the toric code

Breuckmann, Nikolas P.^RWTH*

2017 & 2018

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von M.Sc. Physics Nikolas P. Breuckmann

ImpressumAachen 2017

Umfang1 Online-Ressource (xxvi, 165 Seiten) : Illustrationen, Diagramme

Dissertation, RWTH Aachen University, 2017

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University 2018

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Terhal, Barbara Maria (Thesis advisor)^RWTH* ; Bluhm, Jörg (Thesis advisor)^RWTH* ; Campbell, Earl (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2017-11-17

Online
DOI: 10.18154/RWTH-2018-01100
URL: http://publications.rwth-aachen.de/record/713352/files/713352.pdf

Einrichtungen

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 530

Kurzfassung
Durch Ausnutzung quantenmechanischer Effekte ist es prinzipiell möglich Berechnungen durchzuführen welche für einen klassischen Computer unmöglich sind. Quantencomputer basieren, im Gegensatz zu klassischen Computern, auf sogenannten Qubits, wobei jedes Qubit ein Quantensystem mit zwei Zuständen ist. Durch Wechselwirkungen mit der Umgebung verlieren die Qubits ihre Koheränzeigenschaften welche notwendig für Quantenberechnungen sind. Ein vielversprechender Ansatz um der Dekohärenz entgegenzuwirken ist es den Zustand jedes einzelnen Qubits in den globalen Zustand eines Vielteilchensystems zu kodieren. Solche Systeme werden Quantencodes genannt. Durch lokale Messungen in einem Quantencode ist es möglich Informationen über entstandene Fehler zu erhalten und diese Fehler zu korrigieren. Dies geschieht ohne dabei den kodierten Zustand zu beeinflussen. Solange sich die Fehlerrate unter einem gewissen Schwellwert befindet, lässt sich die Lebensdauer der kodierten Zustände und damit die Dauer einer Berechnung im Quantencomputer, beliebig verlängern. Allerdings führt der Einsatz von Quantencodes dazu, dass mehr physische Qubits benötigt werden. Diesen Mehraufwand gilt es zu minimieren, da die Herstellung von Qubits sehr aufwendig ist und in absehbarer Zeit nur eine geringe Anzahl von Qubits zur Verfügung stehen wird. Momentan konzentriert sich ein Großteil der Aufmerksamkeit auf den sogenannten Toric Code und den Surface Code. In diesen Codes werden die Qubits auf einem quadratischen Gitter platziert und können nur mit ihren direkten Nachbarn interagieren. Diese Dissertation behandelt Quantencodes in welchen die Konnektivität der Qubits durch die Geometrie von etwas komplexeren Räumen bestimmt wird. Der erste Teil dieser Arbeit behandelt den Fall von geschlossenen, zweidimensionalen Flächen welche negativ gekrümmt sind. Wir zeigen wie solche Flächen mittels Reflektionsgruppen konstruiert werden können und welche Eigenschaften die aus ihnen gewonnenen Quantencodes haben. Unsere Konstruktion erlaubt es uns Familien von Quantencodes mit bis zu 10.000 physischen Qubits zu generieren. Mittels Monte-Carlo-Simulationen analysieren wir die Fehlerunterdrückungsrate und den kritischen Schwellwert unterhalb dessen die Lebensdauer der kodierten Qubits beliebig verlängert werden kann. Mittels eines empirischen Ausdrucks für die Fehlerunterdrückungsrate argumentieren wir das im Vergleich zum Surface Code mehrere Größenordnungen an physischen Qubits weniger benötigt werden um den gleichen Schutz vor Fehlern gewährleisten zu können. Darüber hinaus zeigen wir wie die kodierten Zustände manipuliert werden können, wobei die Konnektivität der physischen Qubits niedrig bleibt. Im zweiten Teil dieser Arbeit analysieren wir Quantencodes welche aus vierdimensionalen Räumen gewonnen werden. Der Vorteil gegenüber den zweidimensionalen Quantencodes ist, dass die Fehlerkorrektur hier konzeptionell viel einfacher ist. Wir analysieren und vergleichen verschiedene Fehlerkorrekturmechanismen basierend auf lokalen Korrekturen mittels Monte-Carlo- Simulationen. Darüber hinaus stellen wir einen neuen Dekoder vor, welcher auf maschinellem Lernen basiert.

Computer architectures which exploit quantum mechanical effects can solve computing tasks that are otherwise impossible to perform. A quantum computer operates on a number of small quantum mechanical systems, known as quantum bits, or qubits. Since these systems are realized on the scale of atoms, they are very prone to errors. Errors occur when the environment interacts with the qubits, a process called decoherence. It is widely accepted that it will not be possible to shield qubits completely from the outside world. If one were to perform a quantum computation on the qubits directly, then after a short period of time the information present in the qubits would be lost. To counter decoherence the state of a qubit can be encoded into multiple physical ones. This is called a quantum error correcting code. Performing quantum error correction allows one to extend the life time of the encoded qubit arbitrarily, assuming that the rate of errors remains below a certain threshold value. The use of quantum codes creates an overhead in resources, as for every logical qubit many more physical qubits are needed. The resource overhead for fault-tolerance is problematic, since realizing qubits will be costly, and in the early stages of building quantum computers the number of physical qubits will be limited. The currently favored coding architecture is the toric code and its variant the surface code in which the physical qubits are put on a square grid in which interactions are only between nearest neighbors. In this thesis we will explore quantum codes in which qubits interact as if they were nearest neighbors in more exotic spaces. In the first part we will consider closed surfaces with constant negative curvature. We show how such surfaces can be constructed and enumerate all quantum codes derived from them which have less than 10.000 physical qubits. For codes that are extremal in a certain sense we perform numerical simulations to determine the value of their threshold. Furthermore, we give evidence that these codes can be used for more overhead efficient storage as compared to the surface code by orders of magnitude. We also show how to read and write the encoded qubits while keeping their connectivity low. In the second part we consider codes in which qubits are layed-out according to a four- dimensional geometry. Such codes allow for much simpler decoding schemes compared to codes which are two-dimensional. In particular, measurements do not necessarily have to be repeated to obtain reliable information about the error and the classical hardware performing the error correction is greatly simplified. We perform numerical simulations to analyze the performance of these codes using decoders based on local updates. We also introduce a novel decoder based on techniques from machine learning and image recognition to decode four-dimensional codes.

OpenAccess:
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