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Asymptotic preserving finite volume schemes for the singularly-perturbed shallow water equations with source terms
2017 & 2018
Dissertation, RWTH Aachen University, 2017
Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University 2018
Genehmigende Fakultät
Fak01
Hauptberichter/Gutachter
; ;
Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2017-08-28
Online
DOI: 10.18154/RWTH-2018-222959
URL: http://publications.rwth-aachen.de/record/721122/files/721122.pdf
Einrichtungen
- Lehrstuhl für Angewandte Mathematik (N.N.) und Institut für Geometrie und Praktische Mathematik (111410)
- Fachgruppe Mathematik (110000)
Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
IMEX scheme (frei) ; asymptotic preserving scheme (frei) ; rotating shallow water equations (frei) ; stability analysis (frei) ; stiff hyperbolic balance laws (frei)
Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510
Kurzfassung
Die Flachwassergleichungen sind für die Modellierung ozeanischer Strömungen als einfache Annäherung der Wasser Wellengleichungen von großer Bedeutung, die die von der Schwerkraft getriebenen freien Oberflächen Strömungen beschreiben, wenn die Flüssigkeit inkompressibel, homogen und reibungsfrei ist, und der Druck ist nur hydrostatisch, aufgrund der Oberflächenabnahme, d. h. die horizontale Längenskala ist viel größer als die vertikale. Für die Flachwassergleichungen charakterisiert die Froude-Zahl die Dominanz der advektiven Moden im Vergleich zu den (akustischen) Gravitationsmodell als das Verhältnis der Volumengeschwindigkeit zur Schwerewellen Geschwindigkeit. Für die großen ozeanischen Phänomene ist die Froude-Zahl oft klein; die Gravitationswellen sind also zu schnell, um zu der Massenbewegung beizutragen, d. h. sie beeinflussen nicht die Lösung des makroskopischen Großmodells. Für eine zeitlich explizite numerische Behandlung sollte man jedoch eine Methode entwickeln, um diese schnellen Wellen zu bewältigen, um hohe Rechenkosten zu vermeiden, da sie den Zeitschritt beschränken durch den Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) Zustand. Der in diesem Manuskript betrachtete Ansatz besteht darin, das System in langsame und schnelle Teile zu zerlegen und eine implizit-explizite (IMEX) Strategie zu verwenden, d. h. den schnellen Teil implizit und den langsamen Teil explizit zu behandeln. Zusätzlich zu dem Effizienzproblem, das mit diesem singulär gestörten System verbunden ist, sollte man vorsichtig sein mit dem Begrenzungsschema, d. h. wenn das Schema eine konsistente und stabile Annäherung des Null-Froude-Systems (See Gleichungen) liefert. Selbst wenn die Konvergenz zum Limit für das kontinuierliche Modell gezeigt werden kann, ist die Beibehaltung einer solchen Konvergenz für das diskrete (numerische) Modell zusammen mit Stabilität und Konsistenz keineswegs trivial und sollte sorgfältig analysiert werden. Dies motiviert die Annahme des Rahmens von Asymptotik-Erhaltende (AP) Verfahren eingeführt durch [Jin, SIAM J. Sci. Comp. 21 (2) (1999), S. 441-454], mit der Froude-Zahl als Skalierung-Singular-Parameter. AP-Verfahren sind als (See Gleichungen definiert, die eine solche Annäherung an die Grenze für das diskrete Modell imitieren, z. B. aufgrund einheitlicher Konsistenz und Stabilität. In diesem Manuskript betrachten wir zwei IMEX-Fluss-Splitting-Finite-Volumen-Schemata für die Flachwassergleichungen mit einheitlicher Konsistenz und Stabilität für die Froude-Zahl: das IMET-Verfahren Lagrange-projektion und das IMEX-Verfahren Referenzlösung. Das LP-IMEX-Verfahren ist ein Godunov-artiges Verfahren, das das System in das akustische und das Transportsystem zerlegt und eine Lagrange-Formulierung für das erstere verwendet. Leider ist es in einigen inhärenten Genauigkeit Problemen besonders in mehreren Dimensionen involviert, auf die geachtet werden muss; also untersuchen wir es nur für das eindimensionale System. Der Hauptfokus wurde auf dem RS-IMEX-Schema liegen, das die Lösung in die (asymptotische) Referenzlösung und eine Störung darum zerlegt, um das System zu teilen. Wir untersuchen das RS-IMEX-Verfahren in ein und zwei Raumdimensionen mit der unteren Topografie und schließlich mit der zusätzlichen Corioliskraft. Für beide Verfahren präsentieren wir eine (strenge) asymptotische Analyse begründen die einheitliche Konsistenz und Stabilität des Verfahren in Gedenken an der Froude-Zahl und bestätigen die AP-Eigenschaft. Wir testen auch die Qualität der durch das RS-IMEX-Verfahren berechneten Lösungen in mehreren numerischen Beispielen, insbesondere für das Low-Froude-Regime.The \textit{shallow water equations} are of quite an importance for modelling oceanic flows as a simple approximation of the \textit{water wave equations}, which describe the gravity-driven free surface flows, when the fluid is incompressible, homogeneous, inviscid, and the pressure is only hydrostatic, owing to the \textit{shallowness assumption}, that is the horizontal length scale is much larger than the vertical one. For the shallow water equations, the \textit{Froude number} characterises the dominance of advective modes compared to gravity (acoustic) modes as the ratio of the bulk velocity to the speed of gravity waves. For the large-scale oceanic phenomena, the Froude number is often small; so, the gravity waves are too fast to contribute to the bulk motion, \ie, they do not affect the solution of the large-scale macroscopic model. For a time-explicit numerical treatment, though, one should devise a method to tackle these fast waves to avoid high computational costs as they restrict the time step through the Courant--Friedrichs--Lewy (CFL) condition. The approach considered throughout this manuscript is to decompose the system into slow and fast parts and to employ an implicit-explicit (IMEX) strategy, \ie, to treat the fast part implicitly and the slow part explicitly. In addition to the efficiency problem attached to this singularly-perturbed system, one should be careful about the limiting scheme, \ie, if the scheme provides a consistent and stable approximation of the zero-Froude system (lake equations). Even if the convergence to the limit can be shown for the continuous model, preserving such a convergence for the discrete (numerical) model, along with stability and consistency, is by no means trivial and should be carefully analysed. This motivates adopting the framework of \textit{asymptotic preserving (AP) schemes} introduced by [Jin, \textit{SIAM J.\ Sci.\ Comp.} 21(2) (1999), pp.~441--454], with the Froude number as the scaling singular parameter. AP schemes are defined as schemes mimicking such a convergence to the limit for the discrete model, \eg, in virtue of uniform consistency and stability. In this manuscript, we consider two IMEX flux-splitting finite volume schemes for the shallow water equations with uniform consistency and stability w.r.t.\ the Froude number: the \textit{Lagrange-projection} IMEX scheme and the \textit{reference solution} IMEX scheme. The LP-IMEX scheme is a Godunov-type scheme, which decomposes the system into the acoustic and the transport systems, and employs a Lagrangian formulation for the former. Unfortunately, it is involved in some inherent accuracy issues especially in multiple dimensions, which need to be taken care of; so, we investigate it only for the one-dimensional system. The primary focus would be on the RS-IMEX scheme, which decomposes the solution into the (asymptotic) reference solution and a perturbation around it in order to split the system. We study the RS-IMEX scheme in one and two space dimensions with the bottom topography, and finally, with the additional Coriolis force. For both of these schemes, we present a (rigorous) asymptotic analysis to justify the uniform consistency and stability of the scheme w.r.t.\ the Froude number, and to corroborate the AP property. We also test the quality of the solutions computed by the RS-IMEX scheme in several numerical examples, particularly for the low-Froude regime.
OpenAccess: 
PDF
(additional files)
Dokumenttyp
Dissertation / PhD Thesis
Format
online
Sprache
English
Externe Identnummern
HBZ: HT019631969
Interne Identnummern
RWTH-2018-222959
Datensatz-ID: 721122
Beteiligte Länder
Germany
