Modular portfolio theory : a general framework with risk and utility measures as well as trading strategies on multi-period markets

Platen, Andreas; Cramer, Erhard; Zhu, Qiji Jim; Maier-Paape, Stanislaus

doi:10.18154/RWTH-2018-230691

Modular portfolio theory : a general framework with risk and utility measures as well as trading strategies on multi-period markets = Modulare Portfoliotheorie: Ein allgemeines Rahmenwerk mit Risiko- und Nutzen-Maßen sowie Handelsstrategien auf Mehrperioden-Märkten

Platen, Andreas^RWTH*

2018 & 2019

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Andreas Platen, M.Sc.

ImpressumAachen 2018

Umfang1 Online-Ressource (xii, 146 Seiten) : Diagramme

Dissertation, RWTH Aachen University, 2018

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University 2019

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Maier-Paape, Stanislaus (Thesis advisor)^RWTH* ; Cramer, Erhard (Thesis advisor)^RWTH* ; Zhu, Qiji Jim (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2018-11-20

Online
DOI: 10.18154/RWTH-2018-230691
URL: http://publications.rwth-aachen.de/record/750584/files/750584.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
drawdown (frei) ; efficient frontier (frei) ; multi-period market (frei) ; portfolio theory (frei) ; return (frei) ; risk (frei) ; utility (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
Die folgenden vier modularen Bausteine sind entscheidend im Zusammenhang mit der Portfoliotheorie: (a) das Marktmodell, (b) die "Handelsstrategie" des Investors, (c) die Risiko- und Nutzenfunktion und (d) das Optimierungsproblem. Das Setting der sogenannten "Modernen Portfoliotheorie" nach [Markowitz, John Wiley & Sons, Hoboken, NJ, 1959] und des Capital Asset Pricing Models (CAPM) nach [Sharpe, The Journal of Finance, 19(3):425-442, 1964] besteht aus einem Einperioden-Marktmodell für (a) mit Standardabweichung als Risiko und der erwarteten Rendite als Nutzen für (c). Die Handelsstrategie/Portfolios sind dann lediglich Elemente im Vektorraum ℝ^n, dessen Einträge die entsprechenden Assets im Portfolio repräsentieren, d.h. für Baustein (b) ist nichts weiter zu tun. Aufgrund eines Trade-offs zwischen Risiko und Nutzen ist das Optimierungsproblem, im Allgemeinen, parameterabhängig. In der Situation der modernen Portfoliotheorie liegen die Risiko-Nutzen-Werte der Lösungen, d.h. der sogenannten effizienten Portfolios, für verschiedene Parameter auf dem Rand einer konvexen Menge im zweidimensionalen Risiko-Nutzen-Raum. Beim CAPM liegen diese auf einer Geraden. Verallgemeinerungen solcher Resultate wurden in [Rockafellar et al., Journal of Banking & Finance, 30(2):743-778, 2006] und [Maier-Paape und Zhu, Risks, 6(2):53, 2018] untersucht. In beiden Quellen werden effiziente Portfolios auf ähnliche Weise wie in der modernen Portfoliotheorie und dem CAPM diskutiert. In [Rockafellar et al., 2006] wird die gleiche lineare Nutzenfunktion benutzt, wohingegen das Risiko ein sogenanntes "generalized deviation measure" (verallgemeinertes Abweichungsmaß) sein kann, welches z.B. Konvexität und auch positive Homogenität fordert. In [Maier-Paape und Zhu, 2018] wird eine ähnliche Situation behandelt, wobei das Risiko weniger Voraussetzungen erfüllen muss, z.B. ist die positive Homogenität nicht gefordert. Zusätzlich sind hier allgemeinere (konkave) Nutzenfunktionen zugelassen, welche jedoch einer bestimmten Form genügen müssen. In beiden Fällen wird Baustein (a), im Einperioden-Marktmodell, und Bausteine (c) und (d) behandelt. Die Portfolios/Handelsstrategien sind weiterhin Vektoren im ℝ^n weil ein Einperioden-Markt keine Handelsstrategien ermöglicht. Diese Theorie wird nun durch die Unterteilung in die vier modularen Bausteine (a) bis (d) für allgemeine Mehrperioden-Marktmodelle erweitert. Die Portfolios sind dann keine Vektoren im ℝ^n, sondern zeitabhängige Handelsstrategien welche das Vermögen investieren. Beispiele sind die Buy-and-Hold-Strategie oder eine Strategie, welche das investierte Vermögen täglich umschichtet, so dass die Gewichtung konstant bleibt. Es werden zudem sinnvolle Eigenschaften von (a) und (b) untersucht, welche für (c) und (d) benötigt werden. Die (konkave) Nutzenfunktion ist nun von allgemeiner Form. Mit wenigen Annahmen an das Marktmodell, der Handelsstrategie und der Risiko- und Nutzenfunktion wird für dieses modulare Setup die Existenz und Eindeutigkeit von effizienten Portfolios und weitere ähnliche Resultate wie in der oben genannten Literatur gezeigt. Das Mehrperioden-Marktmodell wird z.B. für die Definition von Risikofunktionen basierend auf dem sogenannten Drawdown benötigt. Der Drawdown einer Vermögenskurve ist der (absolute oder relative) Abstand zwischen dem Maximum der Kurve und ihrem letzten Wert. Da dies in der Praxis eine wichtige Kennzahl ist, werden Drawdown-Risikomaße im Zusammenhang mit dem oben genannten Optimierungsproblem behandelt. Da der Drawdown schwierig zu berechnen ist, wird der absolute Drawdown detaillierter untersucht. Dabei wird stets angenommen, dass die Vermögenskurve durch eine Markow-Kette modelliert ist. Für allgemeinere Markow-Ketten wird gezeigt, dass eine Grenzverteilung des absoluten Drawdowns nach N Zeitschritten für N gegen unendlich genau dann existiert, wenn der Erwartungswert der Gewinne/Verluste nach jedem Zeitschritt positiv ist. Für einige Spezialfälle kann diese Verteilung implizit angegeben werden. Für den Random-Walk-Fall wird zudem ein expliziter Ausdruck für die Verteilung, sowohl nach N Zeitschritten als auch für die Grenzverteilung, angegeben.

The following four modular building blocks are crucial in the context of portfolio theory: (a) the market model, (b) the "trading strategy" of the investor, (c) the risk and utility function and (d) the optimization problem. The setting of the so called "modern portfolio theory" by [Markowitz, John Wiley & Sons, Hoboken, NJ, 1959] and the capital asset pricing model (CAPM) by [Sharpe, The Journal of Finance, 19(3):425-442, 1964] consist of a one-period market model for (a) with the standard deviation as risk and the expected return as utility for (c). The trading strategies/portfolios are then just elements in the vector space ℝ^n whose entries represent the corresponding asset in the portfolio, i.e. there is nothing to do in block (b). The optimization problem, in general, is parameter depend, because of a trade-off between risk and utility. It is known in the modern portfolio theory, that the risk-utility values of the solutions, i.e. of the so-called efficient portfolios, for different parameters are on the boundary of a convex set within the two-dimensional risk-utility space. In the CAPM they even lie on a straight line. A generalization of such results is studied in [Rockafellar et al., Journal of Banking & Finance, 30(2):743-778, 2006] and [Maier-Paape and Zhu, Risks, 6(2):53, 2018]. In both literatures efficient portfolios are studied similar as in the modern portfolio theory and CAPM. In [Rockafellar et al., 2006] they use the same linear utility function but the risk is allowed to be a so-called generalized deviation measure, which e.g. requires convexity and also positive homogeneity. In [Maier-Paape and Zhu, 2018] a similar situation is discussed but the risk is defined with less assumptions, e.g. positive homogeneity is not required anymore. In addition, more general (concave) utility functions are allowed, which, however, still must be of a special form. Therein, block (a) again as one-period market and blocks (c) and (d) are studied. Again, the portfolios/trading strategies are just vectors in ℝ^n because a one-period model allows no trading strategies. This theory is now extended by the subdivision into the four modular building blocks (a) to (d) for general multi-period market models. The portfolios then are no longer represented by vectors in ℝ^n but can be complex time dependent trading strategies for investing the wealth. Examples are the buy and hold strategy or a strategy which reallocates the invested money after each day to ensure constant weights. Reasonable properties of (a) and (b), which are required for (c) and (d), are studied as well. Furthermore, the (concave) utility now is of general form. With just a few reasonable assumptions on the market model, the trading strategy and the risk and utility functions, the existence and uniqueness of efficient portfolios and many similar results as in the references above are shown here for the modular setup as well. The multi-period model is required e.g. to define risk functions based on the so-called drawdown. The drawdown of an equity curve is the (absolute or relative) difference between the maximum of this curve and its last value. Since this is an important value in praxis, the application of the optimization problem from above is studied also for a drawdown risk measure. However, the drawdown is difficult to evaluate. Therefore, some reasonable properties are derived in more detail for the absolute drawdown in case of an equity curve modeled by a Markov chain. For a general case of a Markov chain it is shown that the limit distribution for the absolute drawdown after N time steps as N goes to infinity exists if and only if the expectation of a win or loss after each time step is positive. For some special cases, the corresponding distribution can even be expressed at least with an implicit formula. In the random walk case, an explicit expression can be given for the distribution after just N time steps as well as in the limit case.

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