Left saturation closure : Theory and algorithms

Hoffmann, Johannes; Zerz, Eva Barbara; Levandovskyy, Viktor

doi:HT020007795

Left saturation closure : Theory and algorithms = Linkssaturationsabschluss : Theorie und Algorithmen

Hoffmann, Johannes^RWTH*

2019

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Johannes Hoffmann, M.Sc.

ImpressumAachen 2019

Umfang1 Online-Ressource (206 Seiten) : Illustrationen

Dissertation, RWTH Aachen University, 2019

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Levandovskyy, Viktor (Thesis advisor)^RWTH* ; Zerz, Eva Barbara (Thesis advisor)^RWTH*

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2019-01-22

Online
DOI: 10.18154/RWTH-2019-02474
URL: http://publications.rwth-aachen.de/record/756464/files/756464.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
algorithms (frei) ; non-commutative (frei) ; ore localization (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
Die Theorie der Ore-Lokalisierung von Ringen und Moduln findet Verwendung in vielen Bereichen der nicht-kommutativen Algebra, zum Beispiel Ringtheorie, Dimensionstheorie, nicht-kommutative Geometrie und viele andere. In dieser Dissertation verfolgen wir mehrere Ziele. Wir beginnen mit einer gründlichen Einführung zum Thema Ore-Lokalisierung, aufbauend auf einer axiomatischen Definition und der klassischen Konstruktion, die von Ores Arbeiten inspiriert ist. Ore-Lokalisierung ist problemlos mit der Ringaddition verträglich, allerdings ist deren Existenz für die Konstruktion überhaupt nicht notwendig. Aus diesem Grund untersuchen wir, wie sich die Theorie verändert, wenn wir statt Ringen Monoide betrachten. Der Hauptbeitrag dieser Dissertation ist das Konzept des Linkssaturationsabschlusses oder kurz LSat und die sich daraus ergebenden Anwendungen: Für eine Linksnennermenge S in einem beliebigen Ring R stellt LSat(S) eine kanonische Form von S bezüglich R-fixierender Homomorphismen von Lokalisierungen von R dar. Weiterhin spielt LSat(S) eine bedeutende Rolle in Charakterisierungen von links-invertierbaren Elementen und Linksidealen sowie weiterer struktureller Eigenschaften der Lokalisierung S^(-1)R. Wir beweisen, dass LSat(S) genau dann eine Linksnennermenge in R ist, wenn S^(-1)R Dedekind-endlich ist. In diesem Fall ist S^(-1)R auf kanonische Art und Weise isomorph zu LSat(S)^(-1)R und zusätzlich liefert LSat(S) eine vollständige Beschreibung der Einheitengruppe von S^(-1)R. Wir untersuchen Klassen von Ringen, die diese Eigenschaft erfüllen: In Ore-Bereichen charakterisieren wir maximale und prämaximale Linksnennermengen und in Faktorisierungsbereichen beweisen wir, dass jede saturierte Linksnennermenge eindeutig durch die darin enthaltenen irreduziblen Elemente bestimmt ist. Wir betrachten beispielhaft mehrere Linksnennermengen in Weyl-Algebren und die dazugehörigen Lokalisierungen. Im Anschluss erweitern wir unsere strukturellen Untersuchungen auf Ore-lokalisierte Moduln. Insbesondere zeigen wir, dass das etablierte Konzept des lokalen Abschlusses von Untermoduln ein weiterer Spezialfall des Linkssaturationsabschlusses ist. Als Spezialfall des lokalen Abschlusses betrachten wir lokale Torsion, was wiederum eine Verallgemeinerung des klassischen Torsionsbegriffs ist, und zeigen weitere Verbindungen zwischen den zwei Konzepten auf. Im letzten Teil dieser Dissertation geben wir algorithmische Lösungen für diverse Fragestellungen im Rahmen von Ore-Lokalisierungen von G-Algebren, kurz OLGAs. Wir beschreiben unser Konzept für grundlegende Arithmetik in OLGAs und deren Implementierung im Computeralgebra-System Singular:Plural. Abschließend entwickeln wir mehrere Algorithmen, um den lokalen Abschluss in wichtigen Spezialfällen zu berechnen.

Ore localization of rings and modules is a technique that is widely used throughout non-commutative algebra with applications in ring theory, dimension theory, non-commutative geometry, and many other areas. In this thesis, we pursue several goals. First of all, we give a thorough introduction to Ore localization, starting from its axiomatic definition and working our way through the classical construction inspired by Ore's original work. While Ore localization is perfectly compatible with the addition operation of the ring, the presence of an additive structure is in no way required for the construction. With this in mind, we explore how the theory of Ore localization changes when we consider monoids instead of rings. The main contribution of this thesis is the notion of left saturation closure or LSat and the applications thereof: for a left denominator set S in an arbitrary ring R, LSat(S) represents a canonical form of S with respect to R-fixing isomorphisms of localizations of R. Furthermore, LSat(S) is involved in many characterizations of left invertible elements, left ideals, and other structural properties of the localization S^(-1)R. We show that LSat(S) is a left denominator set in R if and only if S^(-1)R is Dedekind-finite, in which case S^(-1)R is canonically isomorphic to LSat(S)^(-1)R and LSat(S) characterizes the unit group of S^(-1)R. We study classes of rings that satisfy this condition: for Ore domains we characterize maximal and pre-maximal left denominator set, and for factorization domains we prove that any saturated left denominator set is uniquely determined by the set of irreducible elements it contains. As an illustration we discuss several left denominator sets in Weyl algebras and their corresponding localizations. Afterwards, we expand our structural investigations to Ore-localized modules, where we recognize the well-known concept of local closure of a submodule as another special case of left saturation closure. We identify local torsion, which is a generalization of the classical notion of torsion, as a special case of local closure and show further connections between the two concepts. In the last part of this thesis, we give algorithmic solutions to several problems related to Ore localizations of G-algebras, or OLGAs for short. We describe our framework to perform basic arithmetic in OLGAs as well as our implementation in the computer algebra system Singular:Plural. Lastly, we develop multiple algorithms to compute local closure in important special cases.

OpenAccess:
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