Entropy stable hermite approximations of the Boltzmann equation

Sarna, Neeraj; Torrilhon, Manuel; Cai, Zhenning

doi:10.18154/RWTH-2019-05544

Entropy stable hermite approximations of the Boltzmann equation

Sarna, Neeraj^RWTH*

2019

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Neeraj Sarna, M.Sc.

ImpressumAachen 2019

Umfang1 Online-Ressource (xvi, 194 Seiten) : Illustrationen

Dissertation, RWTH Aachen University, 2019

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Torrilhon, Manuel (Thesis advisor)^RWTH* ; Cai, Zhenning (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2019-05-27

Online
DOI: 10.18154/RWTH-2019-05544
URL: http://publications.rwth-aachen.de/record/762264/files/762264.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
entropy stability (frei) ; kinetic equation (frei) ; spectral methods (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
Der Zustand eines Gases wird für alle Strömungsregime genau durch die Boltzmann-Gleichung (BE) beschrieben, die die Entwicklung eines Phasendichtefunktionalen bestimmt. Gegenwärtig löst Direct Simulation Monte Carlo (DSMC) von allen verfügbaren numerischen Methoden das BE mit höchster Wiedergabetreue. Die DSMC-Methode ist jedoch für Flüsse mit niedriger Machzahl teuer, was die Suche nach anderen deterministischen Methoden zur Lösung des BE motiviert. Eine ansprechende deterministische Methode ist ein Galerkin-Ansatz, bei dem die BE-Lösung in einem endlichen dimensionalen Raum angenähert wird. Die vorliegende Arbeit widmet sich der Entwicklung einer solchen Galerkin-Methode, die auf Grads Expansion entlang des Geschwindigkeitsraums und einer kontinuierlichen Diskretisierung des Galerkin-Typs im physikalischen Raum basiert. Für Gasflüsse mit niedriger Machzahl linearisieren wir den BE um eine lokale Gleichgewichtsverteilungsfunktion. Um die Lösung an das linearisierte BE anzunähern, entwickeln wir eine Galerkin-Methode, die Folgendes bewahrt: (i) Masse-, Impuls- und Energieerhaltung, (ii) Galelsche Invarianz und (iii) Stabilität der L2-Tropie. In vielen früheren Arbeiten wurden Techniken zur Erhaltung der ersten beiden Eigenschaften erörtert, und bei Grads Erweiterung bleiben beide Eigenschaften aufgrund der Struktur der Hermite-Polynome erhalten. In der vorliegenden Arbeit konzentrieren wir uns neben der Beibehaltung der ersten beiden Eigenschaften hauptsächlich auf die Beibehaltung der L2-Stabilität sowohl für die Geschwindigkeits- als auch die physikalische Raumdiskretisierung. Die Lösung des linearisierten BE lebt auf einem siebendimensionalen Raum: einem dreidimensionalen Geschwindigkeitsraum, einem dreidimensionalen physikalischen Raum und einem eindimensionalen zeitlichen Raum. Um unsere Galerkin-Methode zu entwickeln, diskretisieren wir zunächst den Geschwindigkeitsraum durch Grads Hermite-Polynome und stellen fest, dass die L2-Stabilität einer solchen Diskretisierung ausschließlich vom Entropiefluss über Grenzen hinweg abhängt. Dies ermöglicht es uns, die Entropiestabilität durch eine ordnungsgemäße Gestaltung der Randbedingungen sicherzustellen. Wir legen diese Randbedingungen sowohl für Zu- / Abfluss- als auch für Vollwandgrenzen fest. Als nächstes statten wir unsere Geschwindigkeitsraumdiskretisierung mit einer entropiestabilen kontinuierlichen räumlichen Diskretisierung nach Galerkin aus. Da eine kontinuierliche Galerkin-Methode keine Diskontinuitäten über Zellgrenzen hinweg zulässt, bleibt der Entropiefluss über die Domänengrenze hinweg die einzige Quelle für das Entropiewachstum. Daher erfordert die Entropiestabilität der räumlichen Diskretisierung eine geeignete Grenzdiskretisierung. Wir verwenden eine schwache Randdiskretisierung, um Entropiestabilität zu erreichen, und stellen drei verschiedene Möglichkeiten vor. Wir vergleichen alle drei Ansätze durch numerische Experimente. Die Stabilität eines numerischen Schemas bietet nicht nur eine robuste numerische Implementierung, sondern ermöglicht auch eine Konvergenzanalyse von vornherein. Wir führen eine A-priori-Konvergenzanalyse für Grads Hermite-Erweiterung durch, bei der wir ihre Stabilität verwenden, um Fehlergrenzen zu entwickeln. Unter Regularitätsannahmen für die linearisierte BE-Lösung entwickeln wir explizite Konvergenzraten. Wir bestätigen die vorgestellten Konvergenzraten durch numerische Experimente mit verschiedenen Benchmark-Problemen. Das Lösen einer kinetischen Gleichung mit einer deterministischen Methode ist rechenintensiv. Dies motiviert zur Entwicklung einer deterministischen Methode, bei der sowohl der Geschwindigkeitsraum als auch die räumliche Diskretisierung so angepasst werden, dass Rechenressourcen nur dort zugewiesen werden, wo sie benötigt werden. Wir entwickeln eine solche deterministische Methode mit Hilfe von Momentannäherungen, bei der wir die Reihenfolge der Momentannäherung und die räumliche Gitterauflösung lokal ändern. Wir konzentrieren uns auf stationäre Probleme und verwenden eine zielorientierte adjunktbasierte a-posteriori-Fehlervorhersage. Mit Hilfe numerischer Experimente vergleichen wir das Konvergenzverhalten einer adaptiven und einer einheitlichen deterministischen Methode.

State of a gas, for all flow regimes, is accurately described by the Boltzmann equation (BE) which governs the evolution of a phase density functional. Presently, out of all available numerical methods, Direct Simulation Monte Carlo (DSMC) solves the BE with highest fidelity. However, DSMC method is expensive for low Mach number flows which motivates the search for other deterministic methods for solving the BE. An appealing deterministic method is a Galerkin type approach which involves approximating the BE's solution in some finite dimensional space. Present work is devoted to developing one of such Galerkin method which is based upon Grad's expansion along the velocity space and a continuous Galerkin type discretization in the physical space. For low Mach number gas flows, we linearise the BE around a local equilibrium distribution function. To approximate the solution to the linearised BE, we develop a Galerkin method which preserves: (i) mass, momentum and energy conservation, (ii) Galelian invariance and, (iii) L2-entropy stability. Many previous works have discussed techniques to preserve the first two properties and in Grad's expansion both of these properties are preserved due to the structure of Hermite polynomials. In the present work, along with preserving the first two properties, we mainly focus on preserving L2-stability for both the velocity and physical space discretization. Solution to the linearised BE lives on a seven dimensional space: three dimensional velocity space, three dimensional physical space and one dimensional temporal space. To develop our Galerkin method, we start with discretizing the velocity space through Grad's Hermite polynomials and we find that the L2-stability of such a discretization solely depends upon the entropy flux across boundaries. This allows us to ensure entropy stability through a proper design of boundary conditions. We design these boundary conditions for both inflow/outflow and solid-wall boundaries. Next, we equip our velocity space discretization with an entropy stable continuous Galerkin spatial discretization. Since a continuous Galerkin method does not allow for discontinuities across cell boundaries, entropy flux across domain's boundary remains as the only source of entropy growth. Therefore, entropy stability of spatial discretization requires a proper boundary discretization. We use a weak boundary discretization to attain entropy stability and we present three different ways of doing so. We compare all of these three approaches through numerical experiments. Stability of a numerical scheme does not only provide a robust numerical implementation but it also allows for an a-priori convergence analysis. We conduct an a-priori convergence analysis for Grad's Hermite expansion where we use its stability to develop error bounds. Under regularity assumptions on linearised BE's solution we develop explicit convergence rates. We confirm the presented convergence rates through numerical experiments involving several benchmark problems. Solving a kinetic equation with a deterministic method is computationally expensive. This motivates developing a deterministic method where both the velocity space and spatial discretization adapts such that computational resources are allocated only where they are needed. We develop such a deterministic method with the help of moment approximations where we change the order of moment approximation and the spatial grid resolution, locally. We focus on steady-state problems and we use goal oriented adjoint based a-posteriori error prediction. With the help of numerical experiments, we compare the convergence behaviour of an adaptive and a uniform deterministic method.

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