Single-class genera of orthogonal groups

Lorch, David; Kirschmer, Markus; Nebe, Gabriele

doi:10.18154/RWTH-2020-02437

Single-class genera of orthogonal groups = Einklassige Geschlechter orthogonaler Gruppen

Lorch, David^RWTH*

2019 & 2020

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Dipl.-Math. David Lorch

ImpressumAachen 2019

Umfang1 Online-Ressource (158 Seiten)

Dissertation, RWTH Aachen University, 2019

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University 2020

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Kirschmer, Markus (Thesis advisor)^RWTH* ; Nebe, Gabriele (Thesis advisor)^RWTH*

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2019-12-19

Online
DOI: 10.18154/RWTH-2020-02437
URL: http://publications.rwth-aachen.de/record/783313/files/783313.pdf

Einrichtungen

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
Die vorliegende Arbeit gibt eine Klassifikation der Ähnlichkeitsklassen einklassiger Geschlechter total definiter Gitter in quadratischen Räumen von Rang m >= 3 über totalrellen Zahlkörpern.Der Satz von Hasse-Minkowski zeigt ein "Lokal-Global-Prinzip" für quadratische Vektorräume über Zahlkörpern K: zwei reguläre quadratische Räume über K sind genau dann isometrisch, wenn sie über jeder Komplettierung von K isometrisch sind. Dieses Prinzip ist für Gitter in quadratischen Vektorräumen über Zahlkörpern im Allgemeinen falsch. Die Menge aller Gitter in einem regulären quadratischen Vektorraum V, die über jeder Komplettierung isometrisch zu einem gegebenen Gitter L in V sind, ist jedoch endlich. Diese Menge nennt man das "Geschlecht" von L. Einklassige Gitter sind Gitter, deren Geschlecht nur aus einer einzigen Isometrieklasse besteht. Diese erfüllen also im Gegensatz zur allgemeinen Situation ein Lokal-Global-Prinzip für Isometrie. Bei total definiten Gittern L über totalreellen Zahlkörpern K ist dieser Fall sehr selten. Für den Spezialfall K=Q zeigte G. L. Watson, dass definite, einklassige Gitter L nur auftreten können falls m <= 10, und veröffentlichte eine unvollständige Klassifikation. Für allgemeine totalreelle Zahlkörper zeigte Pfeuffer die Endlichkeit des Klassifikationsproblems, und bewies, dass m <= 16.Die vorliegende Arbeit beginnt mit dem Beweis von Schranken an die Invarianten einklassiger, quadratfreier, total definiter Gitter L (und ihrer einhüllenden quadratischen Räume V) über totalreellen Zahlkörpern K. Diese basieren auf Pfeuffers Ergebnissen auf Basis von Siegels Maßformel. Aus der Maßformel folgen auch Schranken an die Wurzeldiskriminante von K, die scharf genug sind, um alle infrage kommenden Körper in bereits veröffentlichten Tabellen zu finden. Über einem gegebenen Grundkörper K ermöglicht ein Algorithmus, der auf O'Mearas Klassifikation von Gittern über lokalen Körpern basiert, die Konstruktion von Vertretern aller Geschlechter von Gittern, die die Schranken an die Invarianten erfüllen. Ferner wird ein Algorithmus entwickelt, der Vertreter aller Isometrieklassen in einem Geschlecht aufzählen kann. Für total definite Gitter muss hier zunächst mit dem Kneserschen Nachbarschaftsverfahren das Spinorgeschlecht eines Gitters ausgezählt werden. Es folgt eine Beschreibung, wie sich die verschiedenen Spinorgeschlechter im Geschlecht über geeignete Konstruktionen von benachbarten Gittern miteinander verbinden lassen, sodass das gesamte Geschlecht ausgezählt werden kann. Schließlich folgt die vollständige Klassifikation der einklassigen, total definiten Gitter aus einem Abstiegsalgorithmus, der auf gewisse einklassige, total definite, quadratfreie Gitter angewandt wird. Dieser Algorithmus basiert auf Reduktionsmethoden von Watson und Gerstein.

This thesis presents a classification, up to similarity, of all single-class genera of totally definite lattices in quadratic spaces of rank m >= 3 over totally real algebraic number fields. The Hasse-Minkowski theorem shows a "local-global principle" for quadratic spaces over number fields K: two regular quadratic spaces over K are isometric, if and only if they are isometric over every completion of K. In general, this principle is false for lattices in quadratic spaces over number fields. Given some lattice L in a regular quadratic space V, the set of lattices in V which are isometric to L over every completion is finite. This set is called the "genus" of L. A lattice is called "single-class", if its genus consists of a single isometry class. So, single-class lattices fulfill a local-global principle for isometry, contrary to the general situation. For totally definite lattices L over totally real number fields, this case occurs very rarely. Indeed G. L. Watson has shown that in the special case K=Q, no single-class, definite lattices exist unless m <= 10, and has published an incomplete classification. For general totally real number fields, Pfeuffer has shown the finiteness of the classification problem, and proved that m <= 16.The present work begins by proving bounds to the invariants of single-class, square-free, totally definite lattices L (and their enveloping quadratic spaces V) over totally real number fields K. These are based upon the results of Pfeuffer, who built upon the basis of Siegel's mass formula. The finite set of possible base fields K can be found in existing tables, once sufficiently strong bounds to the root discriminant of K have been proved. Over a given base field K, an algorithm based on O'Meara's classification of lattices over local fields allows to construct representatives of all genera satisfying the bounds to their invariants. In the following, an algorithm is developed that allows to enumerate representatives of the isometry classes in a given genus. In the case of totally definite lattices, a prerequisite is being able to enumerate the classes in a given spinor genus, using Kneser's neighbours algorithm. We continue to describe how the different spinor genera in the genus are linked by neighbour calculation at suitable primes. Finally, the classification of single-class, totally definite lattices is completed by applying a descent algorithm to a set of single-class, totally definite and square-free lattices. This algorithm uses reduction methods developed by Watson and Gerstein.

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