Constructing symmetric simplicial surfaces

Akpanya, Reymond Oluwaseun; Spreer, Jonathan; Niemeyer, Alice Catherine; Robertz, Daniel

doi:10.18154/RWTH-2025-06914

Constructing symmetric simplicial surfaces

Akpanya, Reymond Oluwaseun^RWTH*

2025

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Reymond Oluwaseun Akpanya, M.Sc.

ImpressumAachen : RWTH Aachen University 2025

Umfang1 Online-Ressource : Illustrationen

Dissertation, RWTH Aachen University, 2025

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Niemeyer, Alice Catherine (Thesis advisor)^RWTH* ; Spreer, Jonathan (Thesis advisor) ; Robertz, Daniel (Thesis advisor)^RWTH*

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2025-05-15

Online
DOI: 10.18154/RWTH-2025-06914
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/1016413/files/1016413.pdf

Einrichtungen

Projekte

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
automorphism groups (frei) ; cubic graphs (frei) ; cycle double covers (frei) ; finite groups (frei) ; polyhedral realisation (frei) ; simplicial surfaces (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
In dieser Arbeit untersuchen wir die Eigenschaften triangulierter zweidimensionaler Mannigfaltigkeiten mithilfe sogenannter simplizialer Flächen. Dabei handelt es sich um kombinatorische Strukturen, welche die Inzidenzbeziehungen zwischen Ecken, Kanten und Dreiecken gegebener Triangulierungen kodieren. Einige platonische Körper, nämlich der Tetraeder, der Oktaeder und der Ikosaeder, lassen sich beispielsweise als Triangulierungen der 2-Sphäre verstehen und können somit durch simpliziale Flächen beschrieben werden. Da jedes Dreieck einer simplizialen Fläche zu genau drei Kanten inzident ist, können diese kombinatorischen Strukturen mit kubischen Graphen in Verbindung gebracht werden. Während die Konstruktion eines kubischen Graphen aus einer gegebenen simplizialen Fläche rechnerisch einfach ist, ist es eine große Herausforderung zu entscheiden, ob ein gegebener kubischer Graph die Inzidenzen zwischen den Dreiecken und Kanten einer simplizialen Fläche beschreibt. Die Existenz einer solchen simplizialen Fläche für einen beliebigen kubischen Graphen ist noch immer ein offenes Problem in der Graphentheorie. Ziel dieser Arbeit ist es, simpliziale Flächen und deren Verbindungen zu kubischen Graphen zu untersuchen. Zudem nutzen wir verschiedene gruppentheoretische Ansätze, um Konstruktionsmethoden für kubische Graphen sowie simpliziale Flächen, die aus diesen Graphen hervorgehen, zu entwerfen. Zunächst untersuchen wir Homomorphismen zwischen simplizialen Flächen. Besonders interessieren uns dabei solche simplizialen Flächen, die keine echten epimorphen Bilder besitzen. Das bedeutet, wir betrachten simpliziale Flächen, bei denen jeder Epimorphismus auf eine andere simpliziale Fläche bereits ein Isomorphismus ist. Wir zeigen die Existenz unendlich vieler simplizialer Flächen mit dieser Eigenschaft und gehen zudem auf Endomorphismen und sogenannte Schmetterlings-freundliche Homomorphismen zwischen simplizialen Flächen ein. Ein weiteres Ergebnis dieser Arbeit ist die Modifikation einer Konstruktion kubischer Graphen, die 1949 von Frucht vorgestellt wurde. Wir nutzen diese Modifikation, um die Existenz simplizialer Flächen, deren Automorphismengruppen isomorph zu beliebigen endlichen Gruppen sind, nachzuweisen. Für einige Gruppen ordnen wir den entstehenden simplizialen Flächen zudem Polyeder im euklidischen Raum zu, sodass die simplizialen Flächen und die zugehörigen Polyeder isomorphe Automorphismus- und Symmetriegruppen besitzen. Anschließend verwenden wir hochsymmetrische kubische Graphen zur Konstruktion von simplizialen Flächen mit großen Automorphismengruppen. Genauer zeigen wir, dass die Automorphismengruppe eines ecken- oder kantentransitiven kubischen Graphen zur Konstruktion symmetrischer simplizialer Flächen genutzt werden kann, wie etwa geschlossener flächentransitiver oder geschlossener kantentransitiver Flächen. Unsere theoretischen Ergebnisse ermöglichen es, zwei Datensammlungen zu erstellen: Eine enthält geschlossene flächentransitive Flächen mit höchstens 1280 Dreiecken, abgeleitet von eckentransitiven kubischen Graphen mit Automorphismengruppen von Ordnung höchstens 10^11, und eine weitere umfasst geschlossene kantentransitive Flächen mit höchstens 5000 Dreiecken, konstruiert aus kantentransitiven kubischen Graphen. Zuletzt klassifizieren wir die Mengen offener flächentransitiver sowie offener kantentransitiver Flächen.

This thesis studies triangulated 2-dimensional manifolds from a combinatorial perspective. We explore the properties of such triangulations with the help of simplicial surfaces. Here, a simplicial surface encodes the incidence relations between the vertices, edges and triangles of a triangulated 2-dimensional manifold, e.g., a disc, a sphere or a torus. For instance, some of the Platonic solids, namely the tetrahedron, the octahedron and the icosahedron, can be understood as triangulations of the 2-sphere and hence can be translated into simplicial surfaces. Since each triangle (face) of a simplicial surface is incident to three edges, these combinatorial structures can be linked to cubic graphs. While constructing a cubic graph from a given simplicial surface is computationally easy, deciding whether a given cubic graph is the graph describing the incidences between the faces and edges of some simplicial surface is quite challenging; even more, the existence of such a simplicial surface for an arbitrary cubic graph is still an open problem in graph-theoretical research.The goal of this thesis is to study simplicial surfaces and their connections to cubic graphs. Moreover, we provide construction methods for cubic graphs and simplicial surfaces arising from cubic graphs. To achieve this goal, we make use of group-theoretical approaches. First, we examine homomorphisms between simplicial surfaces. Of particular interest are simplicial surfaces that have no proper epimorphic images. That means we study simplicial surfaces, where every epimorphism from such a simplicial surface onto another simplicial surface is already an isomorphism. We establish the existence of infinitely many simplicial surfaces that satisfy the above property and further elaborate on special homomorphisms, namely endomorphisms and butterfly-friendly homomorphisms between simplicial surfaces.As another main result, we modify a well-known cubic graph construction, presented by Frucht in 1949, and exploit our modification to establish the existence of simplicial surfaces having automorphism groups that are isomorphic to arbitrary finite groups. For certain groups, we further associate the arising simplicial surfaces to polyhedra in Euclidean 3-space such that the simplicial surfaces and the corresponding polyhedra have isomorphic automorphism and symmetry groups. Next, we exploit highly symmetric cubic graphs to construct simplicial surfaces with large automorphism groups. More precisely, we demonstrate that the automorphism group of a vertex- or edge-transitive cubic graph can be used to construct symmetric simplicial surfaces such as closed face-transitive or closed edge-transitive surfaces. These constructions are achieved by providing suitable cycle double covers of given vertex- or edge-transitive cubic graphs. Our theoretical results allow us to compile two censuses: one containing closed face-transitive surfaces with at most 1280 faces, derived from cubic vertex-transitive graphs with automorphism groups of order at most 10^11, and one containing closed edge-transitive surfaces with at most 5000 faces, constructed from cubic edge-transitive graphs. Finally, we classify the sets of open face-transitive surfaces and open edge-transitive surfaces.

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