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Designs in finite geometry = Designs in endlicher Geometrie
2020 & 2021
Dissertation, RWTH Aachen University, 2020. - Dissertation, University of Western Australia, 2020
Cotutelle-Dissertation. - Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University 2021
Genehmigende Fakultät
Fak01
Hauptberichter/Gutachter
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Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2020-12-09
Online
DOI: 10.18154/RWTH-2020-12247
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/808714/files/808714.pdf
Einrichtungen
Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Delsarte design (frei) ; Krein paramters (frei) ; association scheme (frei) ; finite geometry (frei) ; hemisystem (frei) ; polar space (frei)
Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510
Kurzfassung
Diese Dissertation behandelt Delsarte-Designs von symmetrischen Assoziationsschemata, insbesondere im Kontext der endlichen Geometrie. Wir beweisen, dass m-Ovoide in regulären Fastpolygonen, unter bestimmten Bedingungen Hemisysteme sein müssen. Als Folgerung zeigen wir, dass für d ≥ 3 m-Ovoide in DH(2d−1, q^2), DW(2d−1, q), und DQ(2d, q), Hemisysteme sind. Darüber hinaus konstruieren wir eine unendliche Familie von Hemisystemen in Q(2d, q), für q ungerade und d ≥ 2. Für d ≥ 4 stellt dies die erste bekannte Familie dar. Wir verallgemeinern das AB-Lemma zur Konstruktion der m-Abdeckungen, über den Hemisystem Fall hinaus. Im Kontext von allgemeinen Delsarte-Designs zeigen wir, dass entweder die Größe des Designs oder die zugehörigen Eigenräume, in denen es liegt, unter der Voraussetzung, dass bestimmt Kreinparameter Null sind, gewissen Einschränkungen unterliegen, und besprechen anschließend die verschiedenen Implikationen dieses Ergebnisses. Außerdem betrachten wir Kriterien für die Nicht-Existenz eines Designs, indem wir insbesondere die Projektion und Inklusion von Assoziationsschemata und deren Bedeutung für die Existenz von Designs betrachten, wenn die Eigenräume des projizierten Designs Einschränkungen unterliegen. Des Weiteren stellen wir das Konzept der starken Halbkanonizität vor und nutzen dieses in einem ,,black-box”- eingrenzenden Orderly Algorithmus zur effektiven Erzeugung von Designs und kombinatorischen Objekten. Wir verwenden diese Methoden, um neue rechnergestützte Ergebnisse von m-Ovoiden, Teilovoiden und Hemisystemen zu erhalten.This thesis is concerned with the study of Delsarte designs in symmetric association schemes, particularly in the context of finite geometry. We prove that m-ovoids of regular near polygons satisfying certain conditions must be hemisystems, and as a consequence, that for d ≥ 3 m-ovoids of DH(2d−1, q^2), DW(2d−1, q), and DQ(2d, q) are hemisystems. We also construct an infinite family of hemisystems of Q(2d, q), for q an odd prime power and d ≥ 2, the first known family for d ≥ 4. We generalise the AB-Lemma to constructions of m-covers other than just hemisystems. In the context of general Delsarte designs, we show that either the size of a design, or the strata in which it lies, may be constrained when certain Krein parameters vanish, and explore various consequences of this result. We also study the concept of a “witness” to the non-existence of a design, in particular by considering projection and inclusion of association schemes, and the implications this has on the existence of designs when the strata of a projected design is constrained. We furthermore introduce strong semi-canonicity and use it in a black-box pruned orderly algorithm for effective generation of designs and combinatorial objects. We use these techniques to find new computational results on various m-ovoids, partial ovoids, and hemisystems.
OpenAccess: 
PDF
(additional files)
Dokumenttyp
Dissertation / PhD Thesis
Format
online
Sprache
English
Externe Identnummern
HBZ: HT020700273
Interne Identnummern
RWTH-2020-12247
Datensatz-ID: 808714
Beteiligte Länder
Australia, Germany
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