On optimal convergence rates of nonconvex gradient flows

Biesenbach, Sarah; von der Mosel, Heiko; Westdickenberg, Maria Gabrielle

doi:HT021168795

On optimal convergence rates of nonconvex gradient flows = Über optimale Konvergenzraten nicht-konvexer Gradientenflüsse

Biesenbach, Sarah

2021

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Sarah Biesenbach, M.Sc.

ImpressumAachen : RWTH Aachen University 2021

Umfang1 Online-Ressource : Illustrationen, Diagramme

Dissertation, RWTH Aachen University, 2021

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Westdickenberg, Maria Gabrielle (Thesis advisor)^RWTH* ; von der Mosel, Heiko (Thesis advisor)^RWTH*

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2021-09-24

Online
DOI: 10.18154/RWTH-2021-10766
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/835712/files/835712.pdf

Einrichtungen

Projekte

EDDy ; Graduiertenkolleg 2326 - GRK 2326: (320021702) (320021702)

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
energy-energy-dissipation (frei) ; gradient flow (frei) ; knot energy (frei) ; möbius energy (frei) ; nonlinear pde (frei) ; relaxation rates (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
In der vorliegenden Arbeit werden (optimale) Konvergenzraten zweier nicht-konvexer Gradientenflüsse untersucht. Im Hauptteil dieser Arbeit setzen wir uns mit der eindimensionalen Cahn-Hilliard-Gleichung auseinander, die auch als $\dot{H}^{-1}$-Gradientenfluss der skalaren Ginzburg-Landau-Energie gelesen werden kann. Der Gradientenfluss wird sowohl auf einem eindimensionalen Torus ausgeprägter Länge, als auch auf ganz $\mathbb{R}$ betrachtet. Wir nehmen an, dass die Initialdaten einen endlichen (aber nicht zwingend kleinen) $L^1$-Abstand zu einer passend definierten Konfiguration mit zwei Transitionen in Form eines Plateaubergs haben (wichtig ist hier, dass ein Berg zwei Übergängen oder Abhängen entspricht, um bei einer Metapher zu bleiben). Unter dieser Annahme werden optimale zeit-algebraische Relaxationsraten hergeleitet. Unser Resultat erweitert die Relaxationsmethode, die ursprünglich in [F. Otto, S. Scholtes, Maria G. Westdickenberg, Optimal $L^1$-type relaxation rates for the Cahn-Hilliardequation on the line, SIAM J. Math. Anal. 51 (2019), no. 6, 4645–4682] für einen einzelnen Übergang (den “kink”) entwickelt wurde, auf das Problem mit zwei Übergängen (den “bump”). Wir verwenden eine Energiemethode, die auf der Struktur des Gradientenflusses und den Beziehungen zwischen der Energie und der Energiedissipation basiert. Neben anderen Instrumenten spielen insbesondere Nash-ähnliche Ungleichungen, Dualitätsargumente und Schauder-Abschätzungen eine wichtige Rolle. Eine Herausforderung besteht unter anderem darin, dass aufgrund der Translationsinvarianz der Energiedifferenz zu Minimierern das Abfallen der Energie allein nicht hinreichend ist, den Minimierer, gegen den die Lösung konvergiert, zu identifizieren. Während bei der Betrachtung von “kinks” anhand der Masseerhaltung der Cahn-Hilliard-Gleichung der Grenzwert bestimmt werden kann, bedarf es bei der Betrachtung von “bumps” eines neuen Arguments. Auf dem Torus erarbeiten wir eine exponentielle Konvergenzrate für das Langzeitverhalten des Flusses. Auf $\mathbb{R}$ sind die bump-ähnlichen Zustände bloß metastabil und wir beschreiben das initiale Relaxationsverhalten unter der oben erwähnten optimalen Rate. Im Grenzverhalten strebt die Lösung auf $\mathbb{R}$ gegen $-1$. Im zweiten Teil der vorliegenden Arbeit untersuchen wir den Gradientenfluss bezüglich der $L^2$-Metrik der Möbiusenergie. Eine Łojasiewicz-Simon-Ungleichung und die Gradientenflussstruktur des Möbiusflusses werden angewendet, um eine obere Schranke an die Konvergenzrate herzuleiten, basierend auf der Arbeit in [S. Blatt, The gradient flow of the Möbius energy near local minimizers, Calc. Var. Partial Differential Equations, 43 (2012), no. 3-4, 403–439]. Weiterhin erklären wir ein mögliches Vorgehen, um eine optimale Konvergenzrate zu erhalten. Diese Ausführungen beinhalten eine Untersuchung der Hessischen der Energie und des Kerns der Hessischen um einen kritischen Punkt, sowie eine explizite Darstellung der Hessischen in [A. Ishizeki, T. Nagasawa, A decomposition theorem of the Möbius energy II: variational formulae and estimates, Math. Ann., 363 (2015), no. 1-2, 617–635] und einen Fourierkoeffizientenansatz. Für den Fall, dass der kritische Punkt ein Kreis ist, klassifizieren wir eine Teilmenge des Kerns.

This thesis examines (optimal) convergence rates for two nonconvex gradient flows. The central part of the present work is concerned with the one-dimensional Cahn-Hilliard equation as the $\dot{H}^{-1}$-gradient flow of the scalar Ginzburg-Landau energy. This gradient flow will be considered on both a one-dimensional torus of large system-size and the real line. The initial data is assumed to have a finite (not necessarily small) $L^1$-distance to an appropriately defined configuration with two transition layers (a “bump”-like state) and we will establish optimal algebraic-in-time relaxation rates. Our result extends the relaxation method developed in [F. Otto, S. Scholtes, Maria G. Westdickenberg, Optimal $L^1$-type relaxation rates for the Cahn-Hilliard equation on the line, SIAM J. Math. Anal. 51 (2019), no. 6, 4645–4682] for a single transition layer (a “kink”-like state) to the case of two transition layers. We use an energy-method that relies on the gradient flow structure and relationships between the energy and the energy-dissipation. Among other tools, Nash-type inequalities, duality arguments, and Schauder estimates play an important role. One challenge dealt with is that due to translation invariance of the energy gap to minimizers, energetic decay alone cannot identify to which member of the family of minimizers the solution converges. While for the kink, the conservation law for the Cahn-Hilliard equation determines the longtime limit, a different argument is required for the case of the two-layer configuration. On the torus, an exponential convergence rate for the long-time limit behavior is established. On the line, the bump-like states are only metastable and we describe the initial relaxation behavior at the optimal rate as mentioned above. In the long-time limit, the solution convergesto $-1$. In the second part of this thesis, we investigate the gradient flow of curves with respect to the $L^2$-metric of the Möbius energy. A Łojasiewicz-Simon gradient inequality and the gradient flow structure of the Möbius flow are used to establish a bound on the convergence rate, relying on results in [S. Blatt, The gradient flow of the M¨obius energy near local minimizers, Calc. Var. Partial Differential Equations, 43 (2012), no. 3-4, 403–439]. We will also explain how one might proceed in order to determine an optimal convergence rate. This includes an examination of the Hessian of the energy and its kernel around a critical point, in addition to an explicit representation of the former from [A. Ishizeki, T. Nagasawa, A decomposition theorem of the Möbius energy II: variational formulae and estimates, Math. Ann., 363 (2015), no. 1-2, 617–635], as well as a Fourier coefficient approach. A subset of the kernel is classified for the case of the critical point being a circle.

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