Constructing simplicial surfaces with given geometric constraints

Görtzen, Tom Frederik; Niemeyer, Alice Catherine; Robertz, Daniel

doi:43548

Constructing simplicial surfaces with given geometric constraints

Görtzen, Tom Frederik^RWTH*

2024

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Tom Frederik Görtzen, M.Sc.

ImpressumAachen : RWTH Aachen University 2024

Umfang1 Online-Ressource : Illustrationen

Dissertation, RWTH Aachen University, 2024

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Niemeyer, Alice Catherine (Thesis advisor)^RWTH* ; Robertz, Daniel (Thesis advisor)^RWTH*

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2024-07-17

Online
DOI: 10.18154/RWTH-2024-08038
URL: http://publications.rwth-aachen.de/record/992149/files/992149.pdf

Einrichtungen

Projekte

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
automorphism groups (frei) ; crystallographic groups (frei) ; cubic graphs (frei) ; doubly periodic (frei) ; finite groups (frei) ; interlocking (frei) ; simplicial surfaces (frei) ; topological interlocking assemblies (frei) ; triangles (frei) ; wallpaper groups (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
Simpliziale Flächen kodieren die Inzidenzbeziehungen zwischen Ecken, Kanten und Seiten triangulierter Flächen und bieten eine kombinatorische Beschreibung dieser Strukturen. Durch die Zuordnung eines dreidimensionalen Punktes zu jeder Ecke erhalten wir wieder eine Triangulation, die wir im Kontext dieser Arbeit als eingebettete simpliziale Fläche betrachten. Das Hauptziel dieser Arbeit ist die Konstruktion von simplizialen Flächen unter vorgegebenen geometrischen Einschränkungen, mit besonderem Schwerpunkt auf Symmetrie. Symmetrie kann in mathematischen Begriffen mit der Sprache der Gruppentheorie ausgedrückt werden. Ausgehend von einem geometrischen Objekt können wir dessen Automorphismengruppe bestimmen, indem wir alle Transformationen identifizieren, die das Objekt invariant lassen. Umgekehrt können wir aus gruppentheoretischer Perspektive Gruppen unabhängig untersuchen und erforschen, ob ein geometrisches Objekt existiert, dessen Automorphismengruppe einer gegebenen Gruppe entspricht. Das erste Hauptergebnis zeigt, dass wir für jede gegebene endliche Gruppe eine simpliziale Fläche konstruieren können, deren Automorphismengruppe isomorph zu dieser Gruppe ist. In speziellen Fällen können diese Ecken so eingebettet werden, dass eingebettete simpliziale Flächen mit gegebener Symmetrie entstehen. Darüber hinaus können eingebettete simpliziale Flächen andere symmetrische Eigenschaften charakterisieren. Zum Beispiel untersuchen wir Systeme von verriegelten dreidimensionalen Körpern, bekannt als topologische Verriegelungen, die ausschließlich auf ihren geometrischen Eigenschaften beruhen. Wir zeigen, dass die Theorie der planaren kristallographischen Gruppen angewendet werden kann, um eine Vielzahl von Verriegelungen zu konstruieren. Darüber hinaus entwickeln wir die mathematischen Grundlagen der Verriegelungen, einschließlich einer Definition, einer Methode zur Überprüfung der Verriegelungseigenschaft und vieler Beispiele. Außerdem ermöglicht die Erweiterung der Wirkung planarer kristallographischer Gruppen die Schaffung von Flächen mit doppelt periodischer Symmetrie. Eingebettete simpliziale Flächen können in verschiedenen Anwendungen nützlich sein. Im letzten Kapitel veranschaulichen wir, wie die Theorie der simplizialen Flächen im Kontext des 3D-Drucks angewendet werden kann: Selbst wenn anfängliche Modelle Degenerationen aufweisen, können wir sie modifizieren, um eine 3D-druckbare Datei zu erstellen. Durch diese Untersuchungen heben wir die praktische und theoretische Bedeutung simplizialer Flächen sowohl in der mathematischen Forschung als auch in technologischen Anwendungen hervor und unterstreichen ihre Vielseitigkeit und ihr Potenzial für zukünftige Entwicklungen.

Simplicial surfaces encode the incidence relationships between vertices, edges, and faces of triangulated surfaces, providing a combinatorial description of these structures. By assigning a three-dimensional point to each vertex, we again obtain a triangulation, which we view as an embedded simplicial surface in the context of this thesis.The primary aim of this thesis is the construction of simplicial surfaces under specified geometric constraints, with a particular emphasis on symmetry. Symmetry, in mathematical terms, can be expressed using the language of group theory. Starting with a geometric object, we can determine its automorphism group by identifying all transformations that leave the object invariant. Conversely, from a group theoretic perspective, we can study groups independently and explore whether a geometric object exists such that its automorphism group matches a given group.Our first main result demonstrates that for any given finite group, we can construct a simplicial surface whose automorphism group is isomorphic to that group. In specific instances, these vertices can be embedded to produce embedded simplicial surfaces with given symmetry.Additionally, embedded simplicial surfaces can characterise other symmetric properties. For example, we explore systems of interlocked three-dimensional bodies, known as topological interlocking assemblies, which rely solely on their geometric properties. We demonstrate that the theory of planar crystallographic groups can be applied to construct a wide variety of interlocking assemblies. Moreover, we develop the mathematical foundations of interlocking assemblies containing a definition, a method for verifying the interlocking property and many examples. Furthermore, extending the action of planar crystallographic groups allows the creation of surfaces with doubly periodic symmetry.Embedded simplicial surfaces can be useful in various applications. In the final chapter, we illustrate how the theory of simplicial surfaces can be applied in the context of 3D printing: even if an initial model exhibits degenerations, we can modify it to produce a 3D printable file. Through these explorations, we highlight the practical and theoretical significance of simplicial surfaces in both mathematical research and technological applications, underscoring their versatility and potential for future developments.

OpenAccess:
PDF
(additional files)