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Orthogonal determinants of finite groups of Lie type
2024 & 2025
Dissertation, RWTH Aachen University, 2024
Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University 2025
Genehmigende Fakultät
Fak01
Hauptberichter/Gutachter
; ;
Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2024-12-04
Online
DOI: 10.18154/RWTH-2025-00497
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/1002384/files/1002384.pdf
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Projekte
Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Coxeter groups (frei) ; endliche Gruppen vom Lie-Typ (frei) ; finite groups of Lie type (frei) ; orthogonal determinants (frei) ; orthogonale Determinanten (frei)
Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510
Kurzfassung
Eine $\textit{orthogonale Darstellung}$ einer endlichen Gruppe $G$ ist ein Homomorphismus $\rho:G \to \mathrm{GL}_n(K)$, für eine natürliche Zahl $n$ und einen Körper $K \subseteq \mathbb{R}$. Analog nennen wir einen Character $\chi$ von $G$ orthogonal, falls eine zugehörige Darstellung orthogonal ist. Nebe (2022) hat gezeigt, dass wenn $\chi \in \mathrm{Irr}(G)$ ein orthogonaler Character von geradem Grad ist ($\chi \in \mathrm{Irr}^+(G)$), ein eindeutiges Element $$\det(\chi):=d \in \mathbb{Q}(\chi)^{\times}/(\mathbb{Q}(\chi)^{\times})^2$$ existiert, sodass für alle Darstellungen $\rho:G \to \mathrm{GL}_n(K)$ mit Character $\chi$ über einen beliebigen Körper $K/\mathbb{Q}(\chi)$ und alle $\rho(G)$-invarianten, nicht-ausgearteten Bilinearformen $\beta$ gilt, dass $$\det(\beta)=d \cdot (K^{\times})^2.$$ Wir nennen $\det(\chi)$ die $orthogonale$ $Determinante$ von $\chi$. Im Rahmen der Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen bilden die Gruppen vom Lie-Typ die größte Klasse unter diesen. Beispiele von endlichen Gruppen vom Lie-Typ beinhalten $\mathrm{SL}_n(q), \mathrm{GL}_n(q)$ und $\mathrm{SU}_n(q)$ für $q$ eine Primzahlpotenz.Das Ziel dieser Dissertation ist, Methoden zur Berechnung von den orthogonalen Determinanten für endlichen Gruppe vom Lie-Typ vorzustellen. Sei $G:=G(q)$ eine endliche Gruppe vom Lie-Typ mit Parameter $q$ und $\chi \in \mathrm{Irr}^+(G)$. Wir zeigen, dass wenn $q$ ungerade ist, eine Art "Jordan-Zerlegung" von $\det(\chi)=\det(\chi_U) \det(\chi_T)$ existiert, also eine Zerlegung in einen unipotenten Teil $\det(\chi_U)$ und einen halbeinfachen Teil $\det(\chi_T)$. Im Gegensatz zur relativ einfachen Berechnung von $\det(\chi_U)$ erweist sich die Bestimmung von $\det(\chi_T)$ als eine Herausforderung. Hierfür verwenden wir die Theorie der Iwahori--Hecke Algebren, was Deformationen von Coxeter-Gruppen sind, und Erweiterungen hiervon.Die Arbeit besteht aus 6 Kapiteln. Nach der Einleitung wird in zwei Kapiteln die Theorie von orthogonalen Determinanten und der Gruppen vom Lie-Typ eingeführt. Anschließend folgt ein Kapitel über Coxeter-Gruppen, wo die orthogonalen Determinanten von allen Coxeter-Gruppen, als auch die der alternierenden Gruppen und einiger Iwahori--Hecke Algebren, bestimmt werden. Im fünften Kapitel beschreiben wir dann die orthogonalen Determinanten für die Gruppen vom Lie-Typ, wo wir auch einige Beispiele wie $\mathrm{SL}_3(q)$ und $G_2(q)$ betrachten. Abschließend behandeln wir im letzten Kapitel die Gruppen $\mathrm{GL}_n(q)$, wo wir eine komplette Beschreibung erreichen.An $orthogonal$ representation of a finite group $G$ is a homomorphism $\rho:G \to \mathrm{GL}_n(K)$, for a natural number $n$ and a field $K \subseteq \mathbb{R}$. Analogously, we say a character $\chi$ of $G$ is orthogonal if any corresponding representation is orthogonal.Nebe (2022) showed that for an orthogonal character $\chi \in \mathrm{Irr}(G)$ of even degree ($\chi \in \mathrm{Irr}^+(G)$), there exists a unique element $$\det(\chi):=d \in \mathbb{Q}(\chi)^{\times}/(\mathbb{Q}(\chi)^{\times})^2,$$ such that for any representation $\rho:G \to \mathrm{GL}_n(K)$ affording $\chi$ over an arbitrary field $K/\mathbb{Q}(\chi)$ and all $\rho(G)$-invariant, non-degenerate bilinear forms $\beta$, it holds that $$\det(\beta)=d \cdot (K^{\times})^2.$$ We say that $\det(\chi)$ is the $\textit{orthogonal determinant}$ of $\chi$.As part of the classification of finite simple groups, the groups of Lie type form the largest class among them. Examples of finite groups of Lie type include $\mathrm{SL}_n(q), \mathrm{GL}_n(q)$ and $\mathrm{SU}_n(q)$ for $q$ a prime power. The goal of this thesis is to present methods for the calculation of the orthogonal determinants of the finite groups of Lie type. Let $G:=G(q)$ be a finite group of Lie type with parameter $q$ and let $\chi \in \mathrm{Irr}^+(G)$. Given that $q$ is odd, we show that there is some sort of "Jordan decomposition" of $\det(\chi)=\det(\chi_U) \det(\chi_T)$, i.e., a decomposition into a unipotent part $\det(\chi_U)$ and a semisimple part $\det(\chi_T)$.In contrary to the relatively easy determination of $\det(\chi_U)$, the calculation of $\det(\chi_T)$ proves to be a challenge. For that, we apply the theory of Iwahori--Hecke algebras, which are deformations of Coxeter groups, and extensions thereof.The thesis consists of 6 chapters. After the introduction, the following two chapters establish the theory of orthogonal determinants and finite groups of Lie type. Afterwards we will consider Coxeter groups, where the orthogonal determinants of all Coxeter groups, as well as the alternating groups and some Iwahori--Hecke algebras, are covered. In the fifth chapter, we will describe orthogonal determinants of finite groups of Lie type, where we will also consider some examples like $\mathrm{SL}_3(q)$ and $G_2(q)$. In the final chapter, we handle the groups $\mathrm{GL}_n(q)$, where we accomplish a complete description of the orthogonal determinants.
OpenAccess: 
PDF
(additional files)
Dokumenttyp
Dissertation / PhD Thesis
Format
online
Sprache
English
Externe Identnummern
HBZ: HT030936519
Interne Identnummern
RWTH-2025-00497
Datensatz-ID: 1002384
Beteiligte Länder
Germany
