Clifford orders

Braun, Tobias; Robertz, Daniel; Nebe, Gabriele

doi:44502

Clifford orders = Clifford-Ordnungen

Braun, Tobias^RWTH*

2025

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Tobias Braun, M.Sc.

ImpressumAachen : RWTH Aachen University 2025

Umfang1 Online-Ressource : Illustrationen

Dissertation, RWTH Aachen University, 2025

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Nebe, Gabriele (Thesis advisor)^RWTH* ; Robertz, Daniel (Thesis advisor)^RWTH*

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2025-06-23

Online
DOI: 10.18154/RWTH-2025-05622
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/1013585/files/1013585.pdf

Einrichtungen

Projekte

DFG project G:(GEPRIS)286237555 - TRR 195: Symbolische Werkzeuge in der Mathematik und ihre Anwendung (286237555) (286237555)

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Clifford algebra (frei) ; Clifford order (frei) ; quadratic discriminant (frei) ; quadratic form (frei) ; quadratic order (frei) ; root lattice (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
Das Ziel dieser Dissertation ist es, die Eigenschaften der Clifford-Algebra eines quadratischen Gitters über einem Dedekindbereich und dessen Komplettierungen zu untersuchen und diese mit den Eigenschaften der Clifford-Algebra des umgebenden quadratischen Raums zu vergleichen. Das auf diese Weise entstehende neue Objekt – die Clifford-Ordnung – wurde bisher noch nicht umfassend als eigenständiges Objekt untersucht. Die vorliegende Arbeit widmet sich diesem Thema und nutzt sowohl die Theorie der Ordnungen als auch die der Clifford-Algebren, um bekannte Ergebnisse, welche für Clifford-Algebren über Körpern gelten, auf diesen neuen, allgemeineren Rahmen zu übertragen. Es war lange Zeit bekannt, dass der Zentralisator der geraden Clifford-Algebra, das sogenannte Zentroid, ein Grundpfeiler zur Beschreibung der Clifford-Algebra einer orthogonalen direkten Summe quadratischer Räume ist. Diese Dissertation entwickelt die Theorie der quadratischen Ordnungen mit dem Ziel, das Zentroid einer Clifford-Ordnung auf einer abstrakten Ebene zu beschreiben. In diesem Zusammenhang wird eine neue Invariante eines quadratischen Gitters, die quadratische Diskriminante, eingeführt, welche eine vereinfachte Berechnung des Zentroids in bestimmten Situationen ermöglicht. Als Anwendung werden die Zentroide der maximalen Gitter über einem Dedekind-Ring und eines beliebigen Wurzelgitters berechnet, und eine effektive Methode zur Bestimmung der Clifford-Ordnung der orthogonalen direkten Summe zweier quadratischer Gitter wird vorgestellt. Darüber hinaus wird ein Algorithmus beschrieben, welcher es ermöglicht, das Zentroid einer Clifford-Ordnung über einem beliebigen Dedekindbereich zu berechnen. Schließlich werden in dieser Dissertation die Clifford-Ordnungen und die Zentroide aller maximalen Gitter über einem vollständigen diskret bewerteten Ring klassifiziert und als Teilalgebra ihrer umgebenden Clifford-Algebra beschrieben.

The aim of this thesis is to investigate the properties of the Clifford algebra of a quadratic lattice over a Dedekind domain and its completions and to compare it with the properties of the Clifford algebra of its ambient quadratic space. The new object that arises this way - the Clifford order - has not yet been studied extensively as an independent object. The present thesis addresses this, using both the theory of orders and Clifford algebras to extend well-known results that hold for Clifford algebras over fields to this new, more general setting. It was long known to theory that the centraliser of the even Clifford algebra, the so-called centroid is a cornerstone for describing the Clifford algebra of an orthogonal direct sum of quadratic spaces. This thesis develops the theory of quadratic orders, to describe the centroids of Clifford orders on an abstract level. In this context, a new invariant of a quadratic lattice, the quadratic discriminant, is introduced, allowing for a simplified computation of the centroids in certain situations. As applications, the centroids of the maximal lattices over a Dedekind domain and of an arbitrary root lattice are computed, and an effective way to determine the Clifford order of the orthogonal direct sum of two quadratic lattices is presented. Additionally, an algorithm to compute the centroid of a given Clifford orders over an arbitrary Dedekind domain is described. Finally, this thesis classifies the Clifford orders and the centroids of all maximal lattices over a complete discrete valuation ring and describes them as a subalgebra of their ambient Clifford algebra.

OpenAccess:
PDF
(zusätzliche Dateien)